Дивізор (алгебрична геометрія)

В алгебраїчній геометрії дивізори є узагальненням підмноговидів деякого алгебричного многовиду корозмірності 1. Існують два різних таких узагальнення — дивізори Вейля і дивізори Картьє (названі на честь Андре Вейля і П'єра Картьє), ці поняття еквівалентні в разі многовидів (або схем) без особливих точок.

Дивізори Вейля

Визначення

Дивізор Вейля на алгебричному многовиді $X$ (або, загальніше, на нетеровій схемі) — це скінченна лінійна комбінація ${\sum _{i}n_{i}[Z_{i}]}$, де $[Z_{i}]$ — незвідні замкнуті підмножини $X$, а $n_{i}$ — цілі коефіцієнти. Очевидно, що дивізори Вейля утворюють абелеву групу відносно додавання; цю групу позначають $\mathrm {Weil} \,X$. Дивізор вигляду $[Z]$ називають простим, а дивізор, для якого всі коефіцієнти $n_{i}$ невід'ємні — ефективним.

Група класів дивізорів

Припустимо, що схема $X$ є цілою, віддільною, і регулярною в корозмірності 1 (зокрема, ці властивості виконуються для гладких алгебричних многовидів). Регулярність у корозмірності 1 означає, що локальне кільце загальної точки будь-якої незвідної замкнутої підмножини корозмірності 1 регулярне (і нетерове, оскільки є локалізацією нетерового кільця), а отже, є кільцем дискретного нормування. Будь-яка раціональна функція на $X$ (елемент поля часток кільця регулярних функцій $K[X]$) має деяку норму в цьому кільці. Якщо норма раціональної функції більша від нуля для деякої незвідної підмножини $Y$, то кажуть, що раціональна функція має нуль на $Y$, а якщо менша від нуля — має полюс. З нетеровості схеми виводиться, що норма раціональної функції не дорівнює нулю лише для скінченного числа незвідних підмножин, отже кожній раціональній функції зіставляється дивізор, який позначають $(f)$. Дивізори, які можна так отримати, називають головними.

Оскільки $(fg)=(f)+(g)$, головні дивізори утворюють підгрупу у $\mathrm {Weil} \,X$. Фактор-групу за підгрупою головних дивізорів називають групою класів дивізорів і позначають $\mathrm {Cl} \,X$. Група класів дивізорів сама є цікавим інваріантом схеми (тривіальність групи класів афінної схеми $\mathrm {Spec} A$ є критерієм факторіальності кільця $A$ за умови, що $A$ нетерівське і цілозамкнуте), а також, у деяких випадках, дозволяє класифікувати всі одновимірні розшарування над даною схемою.

Дивізори Вейля і лінійні розшаровання

Нехай ${\mathcal {L}}$ — лінійне розшарування над (цілою, нетерівською, регулярною в корозмірності 1) схемою $X$; йому відповідає пучок перетинів, локально ізоморфний кільцю регулярних функцій на $X$. Використовуючи ці ізоморфізми, будь-якому раціональному перетину $s$ даного пучка (тобто перетину над деякою відкритою щільною підмножиною) можна зіставити дивізор його нулів і полюсів, що позначається $\mathrm {div} \,s$. Два різних раціональних перетини відрізняються множенням на раціональну функцію, тому це зіставлення визначає коректно задане відображення з групи Пікара в групу класів дивізорів: $\mathrm {div} :\mathrm {Pic} \,X\to \mathrm {Cl} \,X$. Можна перевірити також, що це відображення є гомоморфізмом (тензорному добутку розшарувань відповідає сума дивізорів), в разі нормальності схеми воно ін'єктивне, а в разі локальної факторіальності схеми — сюр'єктивне. Зокрема, всі ці умови виконуються для гладких алгебричних многовидів, що дає класифікацію лінійних розшарувань над ними з точністю до ізоморфізму. Наприклад, усі одновимірні розшарування над афінною локально факторіальною схемою тривіальні, оскільки тривіальна її група класів дивізорів.

Дивізори Картьє

Для роботи з довільними схемами, що мають особливі точки, часто виявляється зручнішим інше узагальнення поняття підмноговиду корозмірності 1. Нехай $U_{i}$ — деяке покриття схеми $X$ афінними схемами, а $f_{i}$ — сімейство раціональних функцій на відповідних $U_{i}$ (в цьому випадку під раціональною функцією мають на увазі елемент повного кільця). Якщо ці функції узгоджені, в тому сенсі що $f_{i}$ і $f_{j}$ на $U_{i}\cap U_{j}$ відрізняються множенням на оборотну регулярну функцію, то дане сімейство задає дивізор Картьє.

Точніше, нехай $K(U)$ — повне кільце часток кільця регулярних функцій ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ (де $U$ — довільна афінна відкрита підмножина). Оскільки афінні підмножини утворюють базу топології $X$, всі $K(U)$ однозначно визначають передпучок на $X$, відповідний йому пучок позначають ${\mathcal {K}}_{X}^{*}$. Дивізором Картьє називають глобальний перетин факторпучка ${\mathcal {K}}_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*}$, де ${\mathcal {O}}_{X}^{*}$ — пучок оборотних регулярних функцій. Є точна послідовність $0\to {\mathcal {O}}_{X}^{*}\to {\mathcal {K}}_{X}^{*}\to {\mathcal {K}}_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*}\to 0$, застосувавши до неї точний зліва функтор глобальних перетинів, отримаємо точну послідовність $0\to \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to \Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X}^{*})\to \Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X}^{*}/{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$. Дивізори Картьє, що лежать в образі відображення з $\Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X}^{*})$, називають головними.

Існує природний гомоморфізм з групи дивізорів Картьє (групова операція відповідає множенню функцій) в групу дивізорів Вейля; якщо $X$ — ціла відокремлена нетерова схема, всі локальні кільця якої факторіальні, це відображення є ізоморфізмом. У разі ж, коли умова локальної факторіальності не виконується, дивізори Картьє відповідають локально головним дивізорам Вейля (дивізорам, які в околі кожної точки задаються як нулі деякої раціональної функції). Приклад дивізора Вейля, що не є дивізором Картьє — пряма в квадратичному конусі $\mathbb {R} [x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})$, що проходить через його вершину.

Дивізору Картьє, як і дивізору Вейля, можна зіставити лінійне розшарування (або, еквівалентно, оборотний пучок). Відображення з факторгрупи дивізорів Картьє за підгрупою головних дивізорів у групу Пікара є ін'єктивним гомоморфізмом, а в разі проєктивних або цілих схем — сюр'єктивним.

Ефективні дивізори Картьє

Дивізор Картьє називають ефективним, якщо всі функції $f_{i}$, що задають його, регулярні на відповідних множинах $U_{i}$. У цьому випадку відповідний дивізору оборотний пучок є пучком ідеалів, тобто пучком функцій, які занулюються на деякій замкнутій підсхемі. І навпаки, ця замкнута підсхема однозначно визначає ефективний дивізор, тому ефективні дивізори Картьє на $X$ можна визначити як замкнуті підсхеми $X$, які локально можна задати як множину нулів однієї функції, що не є дільником нуля. На цілій відокремленій нетеровій схемі, локальні кільця якої факторіальні, ефективні дивізори Картьє відповідають точно ефективним дивізорам Вейля.

Література

• Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. — М. : Мир, 1981.
• Kleiman, Steven. Misconceptions about K_X // L'Enseignment Mathématique. — 1979. — № 25 (4 червня). — С. 203-206. — DOI:10.5169/seals-50379.

Посилання

• Ravi Vakil. MATH 216: Foundations of Algebraic Geometry (версия 11.06.2013). Архівовано з джерела 5 жовтня 2013 — записки курсу алгебричної геометрії, прочитаного в Стенфордському університеті.