Теорема Каца — Бернштейна
Теоре́ма Ка́ца — Бернште́йна є однією з перших характеризаційних теорем математичної статистики. Легко бачити, що якщо випадкові величини ξ та η незалежні та нормально розподілені, то їх сума та різниця також незалежні. Теорема Каца-Бернштейна стверджує, що незалежність суми та різниці двох незалежних випадкових величин характеризує нормальний розподіл (розподіл Ґаусса). Ця теорема була доведена незалежно польсько-американським математиком Марком Кацом та радянським математиком Сергієм Бернштейном.
Формулювання теореми[ред. | ред. код]
Нехай ξ та η — незалежні випадкові величини. Якщо ξ+η та ξ-η незалежні, то ξ та η нормально розподілені (мають розподіли Ґаусса).
Узагальнення[ред. | ред. код]
Узагальненням теореми Каца-Бернштейна є теорема Скитовича-Дармуа, в якій замість суми та різниці розглядаються лінійні форми від n незалежних випадкових величин.
Література[ред. | ред. код]
- (en) Kac M. On a characterization of the normal distribution // Amer. J. Math. — 1939. — 61. — P. 726—728.
- (ru) Бернштейн С. Н. Об одном свойстве, характеризующим закон Гаусса // Труды Ленинградского политехнического института. — 1941. — Т. 217, № 3. — C. 21—22.
