Аксіома об'єднання

Аксіома об'єднання
Досліджується в	теорія множин Цермело-Френкеля
Першовідкривач або винахідник	Ернст Цермело
Формула	$\forall A\,\exists B\,\forall c\,(c\in B\iff \exists D\,(c\in D\land D\in A)\,)$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Аксіомою об'єднання називають таке висловлення теорії множин:

$~\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )$

Аксіому об'єднання можна сформулювати таким чином: «З будь-якого сімейства $~a$ множин $~b$ можна утворити як мінімум одну таку множину $~d$, кожен елемент $~c$ якої належить хоча б одній множині $~b$ даного сімейства $~a$.»

Інші формулювання аксіоми об'єднання

$~\forall a\exists d\ (d=\{c:\ \exists b\ (b\in a\land c\in b)\})$

$~\forall a\exists d\forall c\ (c\notin d\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\to c\notin b))$

Примітки

0. В аксіомі об'єднання вказаний тип множин (елементи множин сімейства $~a$), які повинні бути елементами множини $~d$, що утворюється. Разом з тим, аксіома об'єднання не містить алгоритм знаходження всіх елементів множини $~d$, що утворюється.

«Хто винуватий?» — відомо. «Що робити?» — невідомо.

1. Про виведення аксіоми об'єднання.

2. Керуючись аксіомою об'ємності можна довести єдиність сукупності $~d$ для кожного сімейства множин $~a$. Інакше кажучи, можна довести, що аксіома об'єднання рівносильна такому висловлюванню

$~\forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\land c\in b))$, що рівносильно $~\forall a\exists d\ (d=\{c:\ \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}\quad \land \quad \neg (\exists d'\ (d'\neq d\ \land \ d'=\{c:\ \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}))\ )$

3. Про аналогію з законом зростання ентропії.

4. Інше

$~a=\{a_{1},a_{2}\}\Rightarrow \exists d\forall c(c\in d\leftrightarrow \exists b(b\in \{a_{1},a_{2}\}\ \land \ c\in b))\Leftrightarrow \exists d\forall c(c\in d\leftrightarrow c\in a_{1}\ \lor \ c\in a_{2})$

Див. також

• Аксіоматика теорії множин

Джерела

• Андрійчук В.І., Комарницький М.Я., Іщук Ю.Б. (2003). Вступ до дискретної математики. Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І.Франка. с. 254.
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)