Багаточастковий граф

k-частковий граф — граф, множину вершин якого можна розбити на k незалежних множин (часток). Еквівалентно, це граф, який можна розфарбувати за допомогою k кольорів так, що кінці будь-якого ребра будуть пофарбовані в різні кольори. При k = 2 k-частковий граф називається двочастковим.

Розпізнати двочастковий граф можна за поліноміальний час, але для будь-якого k > 2 задача визначення, чи є даний нерозфарбований граф k-частковим, стає NP-повною. Втім, у деяких застосуваннях теорії графів k-частковий граф можна задати на вході вже розфарбованим; це може статися, коли множини вершин графу відповідають різним типам об'єктів. Наприклад, фолксономії математично моделювалися тричастковими графами, в яких три множини вершин відповідають користувачам системи, ресурсам, які позначаються тегами, і власне тегам

Повний тричастковий граф K_2,2,2 — граф октаедра

Повний k-частковий граф — це k-частковий граф, такий, що будь-які дві вершини, які належать до різних часток, суміжні. Повний k-частковий граф можна описати нотацією

$K_{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}},$

де $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$ — число вершин у частках графу. Наприклад, $K_{2,2,2}$ — повний тричастковий граф правильного октаедра, що складається з трьох незалежних множин, кожна з яких включає дві протилежні вершини октаедра. Повний багаточастковий граф — це граф, який є повним k-частковим для деякого k.

Граф Турана — повний багаточастковий граф, потужності будь-яких двох часток якого відрізняються не більше ніж на 1. Повні багаточасткові графи — частковий випадок кографів.

Див. також

• Двочасткова розмірність

Література

• В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. Лекции по теории графов. — М. : Наука, Физматлит, 1990. — 384 с. — ISBN 5-02-013992-0.
• Gary Chartrand, Ping Zhang. Chromatic Graph Theory. — CRC Press, 2008. — ISBN 9781584888017.
• Michael R. Garey, David S. Johnson. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. — W. H. Freeman, 1979. — ISBN 0-7167-1045-5.