Відстань між двома точками

Ві́дстань між двома́ то́чками — довжина уявного відрізка, кінцями якого є ці точки. Найкоротший шлях, яким можна дістатися з однієї точки в іншу.

Відстань в аналітичній геометрії

Докладніше: Евклідова відстань

В аналітичній геометрії відстань між двома точками A(x₁, y₁) і B(x₂, y₂) на площині можна знайти за формулою

d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}

, яка легко доводиться завдяки теоремі Піфагора.

Якщо позначити різницю (x₂ — x₁) як $\ \Delta x$ , а (y₂ — y₁) як $\ \Delta y$ , формула набуває вигляду:

d={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}

.

У тривимірному просторі відстань між точками знаходиться майже так само:

d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}}

.

У n-мірному евклідовому просторі відстань між точками знаходиться за формулою

d={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\ldots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.

Відстань у метричному просторі

В метричному просторі M відстань між двома точками $\rho (A,B)$ можна знайти за формулою $\rho (A,B)=\inf _{\gamma (A,B)}L(\gamma (A,B))$ , де $\gamma (A,B)$ — будь-яка крива, що з'єднує точки A та B, а $L(\gamma (A,B))$ — довжина цієї кривої.

В повному метричному просторі завжди знайдеться крива, на якій досягається відстань між двома точками простору. Така крива називається найкоротшою. Найкоротших кривих може бути декілька.

Див. також

Джерела

Погорєлов О. В. Геометрія: Підруч. для 7—9 кл. серед. шк.— 3-тє вид.— К.: Освіта, 1998.— 115 с.
Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? [Архівовано 7 січня 2016 у Wayback Machine.] // «Популярные лекции по математике» [Архівовано 21 січня 2022 у Wayback Machine.]. — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.

Посилання

Відстань між двома точками // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 81. — 594 с.