В обчислювальній математиці, квадратурні формули використовують для апроксимації визначеного інтеграла заданої функції. Зазвичай являють собою скінченну суму зважених значень функції в певних точках (вузлах) з області інтегрування. (більше про квадратурні формули див. чисельне інтегрування) n-точковою квадратурою Гаусса, або квадратурною формулою Гаусса (на честь Карла Гаусса), називається формула
![{\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48050d9c195f72e36a1c17f6d1780cd8016288ce)
що обчислює точне значення інтегралів для поліномів порядку не вище 2n − 1 з відповідним вибором вузлів xi і ваг wi при i = 1, …, n.
Для знаходження вузлів і ваг квадратури використовують ортогональні поліноми на інтервалі інтегрування. Вибираючи різні поліноми для різних ваг отримують різні набори вузлів і вагових коефіцієнтів. Для найпоширеніших систем зазвичай виведені аналітичні формули, тому, щоб обчислити інтеграл на довільному проміжку, можна зробити заміну змінних, і використовувати стандартні квадратури. (див. Заміна змінних)
В наступній таблиці наведено найпоширеніші варіанти ваг і відповідних поліномів та інтервалів інтегрування
Інтервал |
ω(x) |
Ортогональні поліноми |
Дивіться…
|
[−1, 1] |
![{\displaystyle 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
Поліноми Лежандра |
Квадратури Гаусса — Лежандра
|
(−1, 1) |
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd04fe3e7072b2351d97462e931fe2efe588f48) |
Поліноми Чебишова (першого роду) |
Квадратури Гаусса — Чебишова
|
[−1, 1] |
![{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875fba356d7f4befcacf6573012100b3ef95cd19) |
Поліноми Чебишова (другого роду) |
Квадратури Гаусса — Чебишова
|
(−1, 1) |
![{\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf79e0c818e0d60bcdb99450fd8811b42ecca97) |
Поліноми Якобі |
Квадратури Гаусса — Якобі
|
[0, ∞) |
![{\displaystyle e^{-x}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece9722308cdd0f1273e218aaec193b808bc82b1) |
Поліноми Лаґерра |
Квадратури Гаусса — Лаґерра
|
[0, ∞) |
![{\displaystyle x^{\alpha }e^{-x}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a6222b02d09cfc23c3ee085762b090bdc031e9) |
Узагальнені поліноми Лаґерра |
Квадратури Гаусса — Лаґерра
|
(−∞, ∞) |
![{\displaystyle e^{-x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da5decb0035215bdd45d3d40b4b2c3a158d00fc8) |
Поліноми Ерміта |
Квадратури Гаусса — Ерміта
|
Один з найпоширеніших випадків, коли
, тоді для знаходження вузлів і ваг використовують поліноми Лежандра Pn(x), а метод також називають квадратурою Гаусса — Лежандра. Вузли знаходять, як корені поліномів Pn(x). Аналітичного співвідношення для них немає, а для вагових коефіцієнтів n-го порядку формула має вигляд:
![{\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)[P'_{n}(x_{i})]^{2}}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c364b68e1c96b2bcc6462d0aee73e8dc7fc8cbb)
Значення для деяких квадратур низького порядку наведено в таблиці:
Кількість вузлів, n |
Точні значення |
Заокруглені значення
|
Вузли, xi |
Ваги, wi |
Вузли, xi |
Ваги, wi
|
1 |
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) |
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) |
0 |
2
|
2 |
![{\displaystyle \pm {\sqrt {1/3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4896661a02fa596c746b9000f5b3f88934d963cd) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
±0.57735027 |
1
|
3 |
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) |
![{\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138c9173bf601ee0746f7c88a4c35c4c69ae012b) |
0 |
0.88888889
|
![{\displaystyle \pm {\sqrt {3/5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72d4e7993a2b1dd7defa6ac3c517d5012b4fad4) |
![{\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3365177ba66921119316201425be8a9d3018e368) |
±0.77459667 |
0.55555556
|
4 |
![{\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3-2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/410fdf5699c495a2cbf71cd41298812b48ccda68) |
![{\displaystyle {\tfrac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9add27215227621b092167eb2521145682063b51) |
±0.33998104 |
0.65214515
|
![{\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3+2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2e0a3bf3772919e9b3541379de96b8759f92f0) |
![{\displaystyle {\tfrac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d48071c654e838569982301d9b82c65e244fb0) |
±0.86113631 |
0.34785485
|
5 |
0 |
![{\displaystyle {\tfrac {128}{225}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff3e8d28a03927214b0991625c7aaf03ae1996b) |
0 |
0.56888889
|
![{\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {10/7}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6035af5d0a6f7fdb8d6e52165cc35d4dac4387) |
![{\displaystyle {\tfrac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1a49d4333768e233aae3248354bd31d7f8e405) |
±0.53846931 |
0.47862867
|
![{\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {10/7}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d35d1495bd6d9758901d8caa068b3d05dad753ae) |
![{\displaystyle {\tfrac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c010056e35d382131e57bea4b1c7c52c372e3b) |
±0.90617985 |
0.23692689
|
Для обчислення інтегралів на проміжку [-1;1] у випадку вагової функції
використовують поліноми Чебишова першого роду Tn, вузли й ваги будуть задані співвідношеннями:
![{\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb6204513aafc3f4bce98bcd412d3fc50dbe71f)
![{\displaystyle w_{i}={\frac {\pi }{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ccf4f12a6eb39212f10d55827a1f27f46a213df)
Коли ж
використовують поліноми Чебишова другого роду Un, а вузли й ваги можна знайти зі співвідношень:
![{\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93cab04e1516bfe423997bcecce1fd4efcf26e8b)
![{\displaystyle w_{i}={\frac {\pi }{n+1}}\sin ^{2}\left({\frac {i}{n+1}}\pi \right).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29fc3b26c776f754dc18a7cd5bab3ceadb9a439)
Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n |
поліноми першого роду |
поліноми другого роду
|
Вузли, xi |
Ваги, wi |
Вузли, xi |
Ваги, wi
|
1 |
0 |
![{\displaystyle \pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a) |
0 |
|
2 |
![{\displaystyle \pm {\sqrt {2}}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653b0276fc3898dc61070cd47fededb1fa4380af) |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) |
![{\displaystyle \pm 1/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a9a4a68bb3a42767b813bd7e8802787d9e330a) |
|
3 |
0 |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c83c684a603005cda4feb8eea0254143ffb0e16) |
0 |
|
![{\displaystyle \pm {\sqrt {3}}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7145cdbc09c31f120d427cdf0de33d28bc5c5814) |
![{\displaystyle \pm {\sqrt {2}}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653b0276fc3898dc61070cd47fededb1fa4380af) |
|
4 |
![{\displaystyle \pm {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\Big /}2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/174ba7363eb313008bc354a204a5dd851d7600df) |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f89d7c88c1c93dce69a46052a8e276e231063de) |
![{\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}+1)/4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014105a9143bce0d3186f9af98c6b174b77a8b01) |
|
![{\displaystyle \pm {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{\Big /}2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef668c7954d6c7ae8973a3cb97373e7967dd4d2e) |
![{\displaystyle \pm ({\sqrt {5}}-1)/4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/defe3a082fda31594c0a6c194a3a0a1f2cc9e494) |
|
5 |
0 |
![{\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd127eb29fc263536f158fc9dc08d5b6209e7d7) |
0 |
|
![{\displaystyle \pm {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\Big /}4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ff01e60a1d0dbc2717cfb9a168ca578142fccc) |
![{\displaystyle \pm {\sqrt {3}}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7145cdbc09c31f120d427cdf0de33d28bc5c5814) |
|
![{\displaystyle \pm {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\Big /}4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fcaa08e16dd927ade7e3da8946ab953235b5aaf) |
![{\displaystyle \pm 1/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a9a4a68bb3a42767b813bd7e8802787d9e330a) |
|
Для вагової функції
де α і β > −1 використовують поліноми Якобі Pn(α,β)(x). В такому разі, вагові коефіцієнти можна знайти зі співвідношення:
![{\displaystyle w_{i}=-{\frac {2n+\alpha +\beta +2}{n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)(n+1)!}}{\frac {2^{\alpha +\beta }}{P'_{n}(x_{i})P_{n+1}(x_{i})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/006a374d9666013f7f6cfd620491a99f1cdb1c0b)
Щоб порахувати інтеграл
можна скористатись поліномами Лаґерра Ln. Вузли будуть коренями полінома Ln, а ваги задані формулою:
![{\displaystyle w_{i}={\frac {x_{i}}{(n+1)^{2}[L_{n+1}(x_{i})]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02bb38888002be1f4533e00fa77c17525633e0b2)
В більш загальному випадку
використовують узагальнені поліноми Лаґерра Ln(α)
Для обчислення інтегралу
вузли квадратури xi шукають як розв'язки поліномів Ерміта (фізичної версії) Hn(x), а відповідні ваги wi можна знайти:
![{\displaystyle w_{i}={\frac {2^{n-1}n!{\sqrt {\pi }}}{n^{2}[H_{n-1}(x_{i})]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f802b7bf4ffb5d3c9a7911f8aa0e23ea6b961e9)
Окрім різних вагових функцій і інтервалів інтегрування, для знаходження вузлів і ваг можуть накладатись і інші додаткові умови.
Квадратурою Гаусса — Радау (або квадратура Радау) називають таку n точкову квадратуру, яка точна для поліномів порядку не вище 2n-3, але початкова точка інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n-1 вузол. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією представляється у вигляді:
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=w_{1}f(-1)+\sum _{i=2}^{n}w_{i}f(x_{i})+E.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629018f5808718fae3bc199c4e0c5eb364ca63c3)
Невідомі вузли xi для i = 2, …, n є коренями полінома
, де Pk, k-й поліном Лежандра.
Вага для першого вузла
, решта визначаються за формулою:
![{\displaystyle w_{i}={\frac {1-x_{i}}{[nP_{n-1}(x_{i})]^{2}}}={\frac {1}{(1-x_{i})[P_{n-1}^{'}(x_{i})]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c526a6bc426cffee3d15e9fa3feda1480c1d54)
Залишковий член:
![{\displaystyle E={\frac {2^{2n-1}n[(n-1)!]^{4}}{[(2n-1)!]^{3}}}f^{(2n-1)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818430a0b932a1a79140635a32d980d680efb5e4)
Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n |
Точні значення |
Заокруглені значення
|
Вузли, xi |
Ваги, wi |
Вузли, xi |
Ваги, wi
|
2 |
![{\displaystyle -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac) |
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edef8290613648790a8ac1a95c2fb7c3972aea2f) |
-1 |
0.5
|
![{\displaystyle 1/3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0712022e81c98e8a44604c1ef399697512e0cd) |
![{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631d66184353d37ebfe470a07a6a61487da227ac) |
0.33333333 |
1.6
|
3 |
![{\displaystyle -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac) |
![{\displaystyle {\tfrac {2}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562a262f895b3bc033b036605e17f45eceaf3713) |
-1 |
0.22222222
|
![{\displaystyle {\tfrac {1-{\sqrt {6}}}{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe76dd669af98d85c75694985d3920eda617011e) |
![{\displaystyle {\tfrac {16+{\sqrt {6}}}{18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0165181f99650c1066175f97f0fb479418f5f4a6) |
-0.28989795 |
1.02497165
|
![{\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {6}}}{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd87745980625663e4a41d49564cf393cf32ccb) |
![{\displaystyle {\tfrac {16-{\sqrt {6}}}{18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf876de118448e5f7aa05fe617f16241f062863b) |
0.68989795 |
0.75280613
|
4 |
|
|
-1 |
0.125
|
-0.575319 |
0.657689
|
0.181066 |
0.776387
|
0.822824 |
0.440924
|
5 |
|
|
-1 |
0.08
|
-0.72048 |
0.446208
|
-0.167181 |
0.623653
|
0.446314 |
0.562712
|
0.885792 |
0.287427
|
Також відомі як квадратури Лобатто, названі на честь нідерландського математика Рехюла Лобатто. Це такі n точкові квадратури, які точні для поліномів порядку не вище 2n – 3, але початкова і кінцева точки інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n – 2 вузли. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією:
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}{f(x)\,dx}=w_{1}f(-1)+w_{n}f(1)+\sum _{i=2}^{n-1}{w_{i}f(x_{i})}+E_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ed93ea0b81f169192a7f1061db73fc7aa9bac9)
Вузли xi для i = 2, …, n-1 є i–1-ми коренями полінома P'n-1.
Перша й остання ваги
, а решта:
![{\displaystyle w_{i}={\frac {2}{n(n-1)[P_{n-1}(x_{i})]^{2}}}\quad (x_{i}\neq \pm 1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3176e2d0cc66326dce4d697e5c992fe7f8f78890)
Залишок у вигляді:
![{\displaystyle E_{n}={\frac {-n(n-1)^{3}2^{2n-1}[(n-2)!]^{4}}{(2n-1)[(2n-2)!]^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceaabbaf9a5f511066493b51778786797b8126b0)
Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:
Кількість вузлів, n |
Точні значення |
Заокруглені значення
|
Вузли, xi |
Ваги, wi |
Вузли, xi |
Ваги, wi
|
![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f) |
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) |
![{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597b22a31f7ffa49707e2f3d751db25b5a0e55f0) |
0 |
1.33333333
|
![{\displaystyle \pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0) |
![{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efc37d09854a3f8fb997e7de4331876bc49c2c0) |
±1 |
0.33333333
|
![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) |
![{\displaystyle \pm {\sqrt {1/5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31da4cd4c97bad8f41d31cbfe19173258e406873) |
![{\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5558496705b3e588a303eeb875e6bc1bddda920a) |
±0.44721360 |
0.83333333
|
![{\displaystyle \pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0) |
![{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc02e655226b1a0e18922e932efff50531c48eb) |
±1 |
0.16666667
|
![{\displaystyle 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29483407999b8763f0ea335cf715a6a5e809f44b) |
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) |
![{\displaystyle {\tfrac {32}{45}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e13b0a763715ea0f4926423c28337f634e0740a) |
0 |
0.71111111
|
![{\displaystyle \pm {\sqrt {3/7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f728579ea71f2a5776ccecb27fd775b8c517a887) |
![{\displaystyle {\tfrac {49}{90}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9eba41fe09f71917e80dd3dab38777356b4e84) |
0.65465367 |
0.54444444
|
![{\displaystyle \pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0) |
![{\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1de894f8f238d18b9d57b742b8dcc52eadb493) |
±1 |
0.1
|
![{\displaystyle 6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d81124420a058a7474dfeda48228fb6ee1e253) |
![{\displaystyle {\sqrt {{\Big (}7-2{\sqrt {7}}{\Big )}{\Big /}21}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cafe8c6b64cff436ad4746f1da7b81aa5579e3f) |
![{\displaystyle {\tfrac {14+{\sqrt {7}}}{30}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6487a9195aeda3d062239f4ac80b6b7a8f2f54c4) |
0.28523151 |
0.55485838
|
![{\displaystyle {\sqrt {{\Big (}7+2{\sqrt {7}}{\Big )}{\Big /}21}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7627168168be08eaf83bef3112a1ae3b7a8141af) |
![{\displaystyle {\tfrac {14-{\sqrt {7}}}{30}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14931d6a7ee227367f4e49f10c935e03aee2d3f0) |
0.76505532 |
0.37847496
|
![{\displaystyle \pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfeaa85da53ad1947d8000926cfea33827ef1e0) |
![{\displaystyle {\tfrac {1}{15}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f6b18d49af07f4b66a24c7282d7d334322b739) |
±1 |
0.06666667
|
Перш ніж застосувати квадратуру до інтеграла на відрізку [a, b] він має бути трансформований в інтеграл на відрізку [−1, 1]. Для цього можна здійснити перетворення координат наступним чином:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}z+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f01ef34a51842b65b92551b95f4d7a2225f891a)
Застосувавши квадратуру Гаусса отримаємо наступну апроксимацію:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}z_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1204ba41825eced5d106c2c9158a7529739bd312)
- Цегелик Г. Г. Чисельні методи. — Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2004.