Дистрибутивність

Візуалізація дистрибутивного закону для додатніх чисел

Дистрибутивність (розподільний закон) — властивість узгодженості двох бінарних операцій, визначених на одній множині.

На множині S бінарна операція $*$ є дистрибутивною відносно бінарної операції $+$, якщо для будь-яких елементів x, y, z із S виконується:

$x*(y+z)=(x*y)+(x*z)$ — дистрибутивність зліва

$(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ — дистрибутивність справа

Якщо операція $*$ є комутативною, то властивості дистрибутивності справа та зліва збігаються, і така операція є дистрибутивною.

Дистрибутивність присутня в багатьох алгебричних структурах де визначене додавання і множення: комплексні числа, многочлени, матриці, кільця, поля.

В булевій алгебрі та математичній логіці операції кон'юнкції $\land$ та диз'юнкції $\lor$ є дистибутивними одна відносно іншої.

Приклади

• В арифметиці — дистрибутивність множення відносно додавання:

$\ a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

• В логіці — дистрибутивність кон'юнкції та диз'юнкції:

$a\land (b\lor c)\equiv (a\land b)\lor (a\land c)$

$a\lor (b\land c)\equiv (a\lor b)\land (a\lor c)$

дистрибутивність кон'юнкції відносно імплікації $\to$:

$a\land (b\to c)\equiv (a\land b)\to (a\land c)$

дистрибутивність диз'юнкції відносно неімплікації $\not \to$:

$a\lor (b\not \to c)\equiv (a\lor b)\not \to (a\lor c)$

дистрибутивність кон'юнкції відносно нееквівалентності $\not \leftrightarrow$ (тобто виключної дизюнкції $\oplus$):

$a\land (b\not \leftrightarrow c)\equiv (a\land b)\not \leftrightarrow (a\land c)$

дистрибутивність диз'юнкції відносно еквівалентності:

$a\lor (b\leftrightarrow c)\equiv (a\lor b)\leftrightarrow (a\lor c)$

• В теорії множин — дистрибутивність об'єднання множин відносно перетину множин:

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

дистрибутивність перетину множин відносно симетричної різниці множин:

$A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\ \triangle \ (A\cap C)$

• Операція ділення є дистрибутивною тільки справа:

$(a\pm b)\div c=(a\div c)\pm (b\div c)$

$a\div (b\pm c)\neq (a\div b)\pm (a\div c).$

Логіка висловлювань

Правило заміни

У стандартних правда-функціональної логіки висловлювань, два допустимих правила заміни. Правила дозволяють поширювати певні логічні зв'язки в логічні вирази в логічних доказах. Правила такі:

$(P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))$

i

$(P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))$

Де "$\Leftrightarrow$" є металогічний символ представляє «можуть бути замінені на доказ з»

Істина функціональних зв'язок

Дистрибутивність є властивість деяких логічних зв'язок істини-функціональної логіки висловлювань. Такі логічні еквівалентності демонструють, що дистрибутивності є власністю зокрема зв'язувань. Нижче наведені правда-функціональної тавтології.

Розподіл спільно над поєднанні

$(P\land (Q\land R))\leftrightarrow ((P\land Q)\land (P\land R))$

Розподіл спільно над диз'юнкції

$(P\land (Q\lor R))\leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))$

Розподіл диз'юнкції над поєднанні

$(P\lor (Q\land R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))$

Розподіл диз'юнкції над диз'юнкції

$(P\lor (Q\lor R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\lor (P\lor R))$

Розподіл наслідки

$(P\to (Q\to R))\to ((P\to Q)\to (P\to R))$

Розподіл наслідки більш еквівалентності

$P\to (Q\leftrightarrow R)\leftrightarrow ((P\to Q)\leftrightarrow (P\to R))$

Розподіл диз'юнкції над еквівалентності

$(P\lor (Q\leftrightarrow R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\leftrightarrow (P\lor R))$

Поширення заперечення над еквівалентності

$\neg (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (\neg P\leftrightarrow Q)$

Двомісний розподілу

$((P\land Q)\lor (R\land S))\leftrightarrow (((P\lor R)\land (P\lor S))\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))$

$((P\lor Q)\land (R\lor S))\leftrightarrow (((P\land R)\lor (P\land S))\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))$

Самостійна дистрибутивний закон слідування

$S\to (P\to Q)\to ((S\to P)\to (S\to Q))$

Дистрибутивність і округлення

На практиці, розподільна властивість множення (і ділення) можуть порушуватись через обмежену точність обчислень.

Наприклад, тотожність ⅓ + ⅓ + ⅓ = (1 +1 +1) / 3 не буде виконуватись в десятковій арифметиці, бо розрахунок приведе наближених результатів: 0,33333 + 0,33333 + 0,33333 = 0,99999 ≠ 1.

Наприклад, купуючи окремо дві книги, кожна за ціною £ 14,99 з податком 17,5%, реально заощадити £ 0,01, у порівнянні з покупкою їх разом: £ 14,99 × 1,175 = £ 17,61. 2 * £ 17,61 = £ 35,22, але £ 29,98 × 1,175 = £ 35,23.

Узагальнення дистрибутивності

У декількох математичних областях, розглядаються узагальнені закони дистрибутивності. Це може призвести до ослаблення зазначених вище умов або розширення інфінітних операцій. Особливо в теорії порядку можна знайти безліч важливих варіантів дистрибутивності, деякі з яких містять інфінітні операції, такі як нескінченний дистрибутивний закон. Це також містить у собі поняття повністю дистрибутивних ґраток.

При наявності відношення порядку, можна також послабити вище рівності замінивши = або ≤ або ≥. Застосування цього принципу є поняття суб-дистрибутивності, як описано в статті інтервальної арифметики.

У теорії категорій , якщо (S, μ, η) та (S ', μ', η ') є Монада по категорії C, дистрибутивний закон SS '→ S'. є природним перетворенням λ: SS '→ S . S така, що ( S ' , λ) , S → S і ( S , λ), S '→ S' . Це саме дані, необхідні для визначення монади структури на S S '. : множення карта S'μ μ'S ² S'λS .. , і блок карті η η'S. . Див: дистрибутивний закон між Монадами.

Узагальнений дистрибутивний закон також був запропонований в області теорії інформації.

Див. також

• Асоціативність
• Комутативність
• Дистрибутивна ґратка

Джерела

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)