Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз
![{\displaystyle \{\varphi ,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8e61e454db658624b14e0e4f413edabefafd94)
де
й
— будь-які функції
узагальнених координат
та узагальнених імпульсів
,
— кількість ступенів свободи системи.
Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.
Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:
![{\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff1f1f4a7eef368856844d55a700e559463abe1)
![{\displaystyle \{\alpha f+\beta g,h\}=\alpha \{f,h\}+\beta \{g,h\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6c7f48860c948942fd08ce61d6438ac7b94d8f)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{f,g\}=\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\}+\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf7e48148dcde6da79f8ce4f3f468aa018190c7)
![{\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b6f742232f680ffab1030dba8f89aee85a0f5c)
— тотожність Якобі
Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно канонічних перетворень — тобто відносно переходу до нового набору канонічних змінних
![{\displaystyle \{\varphi ,g\}=\sum _{i}^{N}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial P_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial Q_{i}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial Q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial P_{i}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd660bd50e79ba2753c783362a3bc18cfae2ee84)
Якщо одна з функцій збігається з узагальненим імпульсом або координатою, тоді отримаємо:
![{\displaystyle \{f,q_{i}\}={\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64bbfce8f8f6a4df0c4054f509e03da69e5bb98a)
![{\displaystyle \{p_{i},g\}={\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5dbcad4ec12cb90a948fe52683ce4850574b8e1)
Якщо замінити і другу фунцію
![{\displaystyle \{q_{j},q_{i}\}=\{p_{j},p_{i}\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f118351407c249c88da659ef653af7ee2040f0a)
![{\displaystyle \{p_{j},q_{i}\}=\delta _{ji}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0059dd4ea0c59231f7db90f33949c98b4c4478f8)
Останні три тотожності — умова канонічності набору змінних
Кожен інтеграл руху
повинен задовільняти рівнянню
.
У випадку, коли
не залежить від часу явно,
![{\displaystyle \{H,\psi \}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2255b2ff2b0568dc9d31f0bdec55dc20a1bf57)
Зокрема, з огляду на теорему Ліувілля густина станів у фазовому просторі
повинна задовільняти рівнянню Ліувілля
.
- Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
- Федорченко А. М. Теоретична механіка. — : Вища школа, 1975. — 516 с.