Лінійно зв'язний простір

Лінійно зв'язний простір — топологічний простір, в якому будь-які дві точки можна з'єднати неперервною кривою.

Означення

• Розглянемо відрізок числової прямої $[0,1]\subset \mathbb {R}$ з визначеною на ньому стандартною топологією дійсної прямої. Нехай також дано топологічний простір $(X,{\mathcal {T}}).$ Тоді останній називається лінійно зв'язаним, якщо для будь-яких двох точок $x,y\in X$ знайдеться неперервне відображення $f:[0,1]\to X$ таке, що

  $f(0)=x,\;f(1)=y.$

• Нехай дана підмножина $M\subset X$. Тоді на ньому природним чином визначається топологія ${\mathcal {T}}_{M}$, індукована ${\mathcal {T}}$. Якщо простір $\left(M,\;{\mathcal {T}}_{M}\right)$ лінійно зв'язаний, то підмножина $M$ також називається лінійно зв'язаною у $X$.

Властивості

• Будь-який лінійно зв'язний простір є зв'язаним.
• Обернене твердження є невірним; наприклад замикання графіка функції $\sin {\tfrac {1}{x}},\;x>0$ є зв'язаним, але не лінійно зв'язаним (замикання окрім самого графіка функції містить також відрізок $[-1,1]$ на осі ординат і жодну точка цього відрізку не можна поєднати неперервною кривою із будь-якою точкою графіка).
• Неперервний образ лінійно зв'язного простору є лінійно зв'язним.
• Якщо простір X є лінійно зв'язним і $x,\;y\in X$, то фундаментальні групи $\pi _{1}(X,\;x)$ і $\pi _{1}(X,\;y)$ є ізоморфними і цей ізоморфізм визначається однозначно з точністю до внутрішнього автоморфізму $\pi _{1}(X,\;x)$.

Лінійна зв'язність на числовій прямій

Будемо вважати, що $X=\mathbb {R}$, а ${\mathcal {T}}$ — стандартна топологія числової прямої. Тоді

• Підмножина $M\subset \mathbb {R}$ є лінійно зв'язною тоді і тільки тоді, коли

  $\forall x,\;y\in M:(x\leqslant y)\Rightarrow {\bigl (}[x,\;y]\subset M{\bigr )},$

тобто будь-які дві точки входять до нього разом із з'єднучим їх відрізком.

• Будь-яка лінійно зв'язна підмножина числової прямої є скінченним або нескінченним, відкритим, напіввідкритим або замкнутим інтервалом:

  $(a\;,b),\;[a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty ,\;b),\;(-\infty ,\;b],\;(a,\;+\infty ),\;[a,\;+\infty ).$

• Підмножина числової прямої є лінійно зв'язною тоді і тільки тоді, коли вона є зв'язною.

Узагальнення

Багатовимірним узагальненням лінійної зв'язності є k-зв'язність (зв'язність у розмірності $k$). Простір $X$ називається зв'язаним у розмірності $k$, якщо будь-яке відображення r-вимірної сфери $S^{r}$ в $X$, де $r\leqslant k$, є гомотопним сталому відображенню.

Зокрема, лінійно зв'язний простір є 0-зв'язним простором, тобто будь-яке відображення дискретної множини із двох точок (нульвимірної сфери) гомотопно сталому відображенню.

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)