Задача Майєра

Зада́ча Ма́йєра — варіаційна задача з рухомими кінцями і диференціальними зв'язками. Формулюється так: серед кривих $y(x)$ , що задовольняють диференціальним рівнянням

$x_{1}\leq x\leq x_{2},\ y=(y_{1},\ldots ,\,y_{n}),\ i=1,\ \ldots ,\ m,\ m<n$ і граничним умовам

$\varphi _{i}(x_{1},\ y(x_{1}))=0,\ i=1,\,,\ldots ,\ k,\ k\leq n+1\ \ \ (2)$

$\eta _{j}(x_{2},\ y(x_{2}))=0,\ j=1,\,,\ldots ,\ p,\ p\leq n+1\ \ \ (2)$

знайти таку криву, яка дає мінімум функціоналу $I=g(x_{1},\ y(x_{1}),\ x_{2},\ y(x_{2}))$

При цьому функції $y$ , $\Phi _{i}$ , $\varphi _{i}$ , $\eta _{j}$ , $g$ повинні задовольняти певним вимогам гладкості. Рівняння (2), (3) визначають в $n+1$ мірному просторі деякі поверхні $S_{1}$ і $S_{2}$ . Одна з них (наприклад, $S_{1}$ ) може вироджуватися в точку. У цьому випадку задача Майєра є задачею з одним фіксованим і одним рухомим кінцями. Майєра задача збігається з задачею Больци, якщо в останній у функціоналі функція $f\equiv 0$ . Тоді і вся теорія задачі Больца повністю переноситься на задачу Майєра. Зокрема, для Майєра задачі справедливе правило множників і всі наслідки, що випливають з нього, — умови трансверсальности, рівняння Ойлера і умови Веєрштрасса — Ердмана для кутових точок. Якщо розглядати криві ( $y_{1}(x),\ldots ,\,y_{n}(x)$ ), що задовольняють умови (1—3) і, крім того, умовам $y_{n}(x)=0$ $y_{n}(x)\times (x_{2}-x_{1})=g$ , і записати $I$ у вигляді $I=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{y_{n+1}(x)}\ dx$ то у такому вигляді Майєра задача еквівалентна задачі Лагранжа.