Множина рівня

Множиною рівня $y_{o}\in E_{f}$ функції $f$, означеної на $E_{f}$ називається множина виду $f^{-1}(y_{o})=\{x:f(x)=y_{0}\}$.

Множина рівня функцій, що володіють фрактальними властивостями може бути одноточковою, зліченною або континуальною.

Приклад

Розглянемо 2-вимірну евклідову відстань: $$d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$$ Множнина рівня $L_{r}(d)$ цієї функцій складається з точок, що лежать на відстані $r$ від початку координат, тобто коло. Наприклад, $(3,4)\in L_{5}(d)$, бо $d(3,4)=5$. Геометрично це означає, що точка $(3,4)$ приналежить колу радіуса 5 з центром в початку координат. Загальніше, сфера в метричному просторі $(M,m)$ з радіусом $r$ із центром у $x\in M$ можна означити через множину рівня $L_{r}(y\mapsto m(x,y))$.

Множини рівнів і градієнт

Розгляньмо функцію f чий графік виглядає як пагорб. Сині криві це множини рівня; червоні криві слідують напрямку градієнта. Обачний ходок обирає синю стежку; відважний ходок простує червоною стежкою. Зверніть увагу, що сині і червоні стежки завжди перетинаються під прямим кутом.

Теорема: Якщо функція f диференційовна, тоді в кожній точці градієнт f або рівний нулю, або перпендикулярний множині рівня f у цій точці.

Щоб збагнути, що це означає уявіть, що два скелелази в одній точці на горі. Один із них зухвалий і обирає напрямок найкрутішого схилу. Інший натомість поміркований; він не бажає ані дертись угору, ані спускатись донизу і обирає шлях уздовж якого він буде на тій самій висоті. Наша теорема стверджує, що ці скелелази розійдуться під прямим кутом.