Прості числа-близнюки

Прості числа-близнюки — пара простих чисел, різниця між якими дорівнює 2.

Найменшими числами-близнюками є:

0-500: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

501-1000: (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

Властивості

• Всі пари простих близнюків крім (3, 5) мають вигляд $6n\pm 1\,$.

Справді для будь-якої пари простих чисел-близнюків число, що знаходиться між ними очевидно є парним. Також воно ділиться на 3, оскільки з трьох послідовних чисел одне має ділитися на три. З цих двох тверджень випливає, що воно також буде ділитися на 6, тоді два сусідніх числа будуть мати вигляд $6n\pm 1\,$.

• Числа m, m + 2 є простими числами-близнюками тоді і тільки тоді коли:

$4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.$

Дійсно $4((m-1)!+1)+m\equiv 0{\pmod {m(m+2)}}.$ виконується в тому і тільки тому випадку коли виконуються рівності:

• $4((m-1)!+1)+m\equiv 0{\pmod {m}}$
• $4((m-1)!+1)+m\equiv 0{\pmod {(m+2)}}$

Перша з цих рівностей еквівалентна $((m-1)!+1)\equiv 0{\pmod {m}}$ , що згідно з теоремою Вілсона виконується тоді і тільки тоді коли m просте число.

У другій рівності домножимо обі частини на m. Після елементарних перетворень одержуємо:

$4m!+4m+m^{2}\equiv 0{\pmod {(m+2)}}$

Неважко помітити, що остання рівність виконується в тому і лише тому випадку коли $m!\equiv 1{\pmod {(m+2)}}$, що згідно з варіантом теореми Вілсона еквівалентно твердженню, що число m + 2 — просте.

• Теорема Бруна: ряд із сум чисел обернених до чисел-близнюків збігається:

$B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\ldots \approx 1.902160583104$

Число, що є сумою ряду називається константою Бруна.

Найбільші відомі прості близнюки

На даний час найбільшою відомою парою простих близнюків є 3756801695685 · 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ ± 1. Десять найбільших відомих пар:

• $3756801695685\cdot 2^{666669}\pm 1$ (200700 цифр)
• $65516468355\cdot 2^{333333}\pm 1$ (100355 цифр)
• $2003663613\cdot 2^{195000}\pm 1$ (58711 цифр)
• $194772106074315\cdot 2^{171960}\pm 1$ (51780 цифр)
• $100314512544015\cdot 2^{171960}\pm 1$ (51780 цифр)
• $16869987339975\cdot 2^{171960}\pm 1$ (51779 цифр)
• $33218925\cdot 2^{169690}\pm 1$ (51090 цифр)
• $22835841624\cdot 7^{54321}\pm 1$ (45917 цифр)
• $1679081223\cdot 2^{151618}\pm 1$ (45651 цифр)
• $84966861\cdot 2^{140219}\pm 1$ (42219 цифр)

Гіпотеза про нескінченність

Однією з знаменитих відкритих проблем теорії чисел є скінченність чи нескінченність простих близнюків. Інтуїтивно більшість математиків схиляються до думки про існування нескінченної кількості таких чисел, проте цей факт залишається недоведеним.

Гіпотеза Гарді—Літлвуда

За гіпотезою Гарді-Літлвуда кількість $\pi _{2}(x)$ пар простих близнюків, що не перевищують x, асимптотично наближається до

$\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{2}}}$

де $C_{2}$ — константа простих-близнюків:

$C_{2}=\prod _{p\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016118158468695739278121100145\ldots$

Прості числа-триплети

Послідовність простих чисел (p, p+2, p+6) або (p, p+4, p+6) називається триплетом.

Перші прості числа-триплети :

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317 ), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887).

На даний час найбільшими відомими простими числами-триплетами є:

(p, p+2, p+6), де p = 2072644824759 × 2³³³³³ − 1 (10047 цифр, листопад, 2008, Norman Luhn, François Morain, FastECPP).