Функції Бесселя

	Функції Бесселя
Названо на честь	Фрідріх Вільгельм Бессель
Головний предмет твору	Bessel functiond і Bessel function of the second kindd
Першовідкривач або винахідник	Даніель Бернуллі і Фрідріх Вільгельм Бессель
Розв'язує	лінійне диференціальне рівняння
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Розв'язок для	second order linear differential equationd і Bessel differential equationd
	Функції Бесселя у Вікісховищі

Функції Бесселя в математиці — сімейство функцій, що є канонічними розв'язками диференціального рівняння Бесселя:

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0,

де $\alpha$ — довільне дійсне число, зване порядком. Найчастіше використовувані функції Бесселя — функції цілих та напівцілих порядків.

Хоча $\alpha$ і $-\alpha$ породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була гладкою по $\alpha$ ).

Функції Бесселя вперше були визначені швейцарським математиком Даніелем Бернуллі, а названі на честь Фрідріха Бесселя.

Застосування

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження розв'язків рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндричних і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при розв'язуванні багатьох задач про поширення хвиль, статичні потенціали тощо, наприклад:

електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;
теплопровідність в циліндрових об'єктах;
форми коливання тонкої круглої мембрани
швидкість частинок в заповненому рідиною циліндрі, що обертається навколо своєї осі.

Функції Бесселя застосовуються і при розв'язуванні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.

Визначення

Оскільки наведене рівняння є рівнянням другого порядку, у нього повинно бути два лінійно незалежних розв'язки. Проте залежно від обставин вибираються різні визначення цих розв'язків. Нижче наведені деякі з них.

Функції Бесселя першого роду

Функціями Бесселя першого роду, що позначаються $J_{\alpha }(x)$ , є розв'язки, скінченні в точці $x=0$ при цілих або невід'ємних $\alpha$ . Вибір конкретної функції та її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладання в ряд Тейлора біля нуля (або в загальніший степеневий ряд при нецілих $\alpha$ ):

J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }

Тут $\Gamma (z)$ є гамма-функція Ейлера, узагальнення факторіалу на нецілі значення. Графік функції Бесселя схожий на синусоїду, коливання якої згасають пропорційно ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$ , хоча насправді нулі функції розташовані не періодично.

Нижче наведені графіки $J_{\alpha }(x)$ для $\alpha =0,1,2$ :

Якщо $\alpha$ не є цілим числом, функції $J_{\alpha }(x)$ і $J_{-\alpha }(x)$ лінійно незалежні і, отже, є розв'язками рівняння. Але якщо $\alpha$ ціле, то правильне таке співвідношення:

J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)\,

Воно означає, що на разі функції лінійно залежні. Тоді другим розв'язком рівняння стане функція Бесселя другого роду (дивись нижче).

Інтеграли Бесселя

Можна надати інше визначення функції Бесселя для цілих значень $\alpha$ , використовуючи інтегральне зображення:

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau

Цей підхід використовував Бессель, дослідивши за його допомогою деякі властивості функцій. Можливе і інше інтегральне зображення:

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau

Функції Бесселя другого роду

Докладніше: Функції Бесселя другого роду

Функції Бесселя другого роду — розв'язки $Y_{\alpha }(x)$ рівняння Бесселя, нескінченні в точці $x=0$ .

$Y_{\alpha }(x)$ також іноді називають функцією Неймана, і позначають як $N_{\alpha }(x)$ . Ця функція пов'язана з $J_{\alpha }(x)$ таким співвідношенням:

Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},

де у разі цілого $\alpha$ береться границя по $\alpha$ , обчислювана, наприклад, за допомогою правила Лопіталя.

Нижче приведені графіки $Y_{\alpha }(x)$ для $\alpha =0,1,2$ :

Властивості

Асимптотика

Для функцій Бесселя відомі асимптотичні формули. При малих аргументах $(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}})$ і невід'ємних $\alpha$ вони виглядають так:

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }

Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{:}}\quad \alpha =0\\\\\displaystyle -{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{:}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.

де $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні $(0.5772\dots )$ , а $\Gamma$ — гамма-функція Ейлера. Для великих аргументів $(x\gg |\alpha ^{2}-1/4|)$ формули виглядають так

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)

Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).

Гіпергеометричний ряд

Функції Бесселя можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію:

J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).

Таким чином, при цілих n функція Бесселя однозначна аналітична, а при нецілих — багатозначна аналітична.

Функції Бесселя як коефіцієнти рядів

Існує представлення для функцій Бесселя першого роду і цілого порядку через коефіцієнти ряду Лорана функції певного вигляду, а саме

e^{\displaystyle {\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}

Твірна функція для функції Бесселя $J_{\alpha }(x)$

$g(x,t)=\exp[{\frac {x}{2}}(t-{\frac {1}{t}})]=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }J_{\alpha }(x)t^{\alpha },$

де $J_{\alpha }(x)$ визначена у області $0\leq x\leq \infty .$

Розклад у ряд Лорана та коефіцієнти $J_{\alpha }(x)$ можна знайти

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi l}}\int _{C}{\frac {g(x,t)}{t^{n+1}}}dt.$

В якості контура $C$ навколо точки $t=0$ обирається окружність одиничного радіусу у площині $t,$ де $t=\exp(i\theta ).$ Таким чином,

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\exp\{[x(e^{i\theta }-e^{-i\theta })/2]\}i\exp(i\theta )d\theta }{[\exp(i\theta )]^{\alpha +1}}}$

та

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{}^{2\pi }\exp[i(x\sin \theta -n\theta )]d\theta .$

Див. також

Література

Ватсон Г., «Теория бесселевых функций» т. 1,2 М., ИЛ, 1949 г.
Бейтмен Г., Эрдейи А. «Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены». Справочная математическая библиотека М. Физматгиз 1966 г. 296 с.
Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)