Теорема Помпею
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
Теорема Помпе́ю — теорема в планіметрії, відкрита румунським математиком Дімітріе Помпею.
Теорема стверджує, що:
Для довільного рівностороннього трикутника та довільної точки в його площині відрізки , та є сторонами трикутника (можливо, виродженого). |
Розглянемо поворот на 60° навколо точки C. Припустимо, що A переходить у B, а P переходить у P '. Тоді маємо , . Звідси трикутник PCP ' рівносторонній, тому . З рівності трикутників очевидно, що . Тому трикутник PBP ' має сторони, рівні PA, PB, PC, що й завершує доведення теореми.
Додатково, якщо P знаходиться на описаному колі трикутника, то PA, PB і PC утворюють вироджений трикутник.
Також теорема є прямим наслідком нерівності Птолемея.
- Теорема Помпею на MathWorld [Архівовано 11 листопада 2012 у Wayback Machine.] (англ.)