Періодична функція

Графіки синуса і косинуса — періодичних функцій с періодом $T=2\pi$.

Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повторює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

Означення

Нехай $M$ — абелева група (зазвичай вважається, що $M=(\mathbb {R} ,+)$ — дійсні числа з операцією додавання або $(\mathbb {C} ,+)$ — комплексні числа). Функція $\ f:M\to N$ називається періодичною з пері́одом $\ T\neq 0$ , якщо виконується

$f(x+T)=f(x-T)=f(x),\quad \forall x\in M$.

Якщо ця рівність не виконується для всіх $T\in M,\,T\not =0$ , то функція $f$ називається аперіоди́чною.

Якщо для функції $f:\mathbb {C} \to N$ існують два періоди $T_{1},T_{2}\not =0$, відношення яких не рівне дійсному числу, тобто є ${\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R}$, то $f$ називається двоперіоди́чною фу́нкцією. В цьому випадку значення $f$ на всій площині визначаються значеннями в паралелограмі, натягнутому на $T_{1},T_{2}$.

Примітка

Період функції визначається неоднозначно. Так, якщо $T$ — період, то і довільний елемент $T'$ вигляду $T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}$ , де $n\in \mathbb {N}$ — довільне натуральне число, теж є періодом.

Але якщо серед множини періодів $\{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}$ є найменше значення, то воно називається головним (або основним) періодом функції.

Дії над періодичними функціями

Виконуються наступні твердження стосовно суми періодичних функцій:

• Сума двох функцій зі співрозмірними (тобто, такими, що їх відношення є раціональним числом) періодами $T_{1}$ і $T_{2}$ є функцією з основним періодом НСК$(T_{1},T_{2})$.
• Сума двох функцій із неспіврозмірними періодами є неперіодичною функцією.
• Не існує періодичних функцій, не рівних константі, у яких періодами є неспіврозмірні числа.

Приклади

• Дійсні функції синус і косинус є періодичними з основним періодом $2\pi$ , оскільки

$\sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .$

• Функція рівна константі $f(x)=\mathrm {const}$ є періодичною, і довільне дійсне число є її періодом. Головного періоду вона не має.

• Функція $f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R}$ є аперіодичною.

Див. також

• Майже періодична функція
• Ряд Фур'є
• Коливання
• Гармонічний аналіз

Посилання

• Функція періодична // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — С. 18—20.(рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Періодичні функції на MathWorld [Архівовано 26 лютого 2020 у Wayback Machine.]