Тест простоти AKS

AKS-тест простоти (також відомий як тест простоти Агравал-Кайал-Саксена або циклотомічний AKS-тест) — детермінований алгоритм доведення простоти, розроблений та опублікований трьома індійськими науковцями Маніндрою Агравалом, Ніраєм Кайалом та Нітіном Саксеною 6 серпня 2002 р. в статті «PRIMES is in P» («Перевірка простоти належить до класу P»). Автори отримали за цю роботу у 2006 премію Геделя.

Алгоритм, який невдовзі був вдосконалений іншими, визначає чи є число простим чи складеним і виконується за поліноміальний час.

Важливість

Ключове значення AKS полягає в тому, що це перший опублікований алгоритм, який одночасно є поліноміальним, детермінованим та не спирається ні на які недоведені припущення. Тобто, максимальний час виконання алгоритму можна виразити як поліном від числа розрядів тестованого числа; він ґарантує вирішення задачі: є число простим чи складеним (а не отримання ймовірнісного результату); і його коректність не залежить від коректності якоїсь допоміжної недоведеної гіпотези (наприклад, гіпотези Рімана).

Підґрунтя тесту

AKS-тест ґрунтується на конгруенції

$(x-a)^{n}\equiv (x^{n}-a){\pmod {n}}$,

яка виконується тоді й тільки тоді, коли n просте. Це узагальнення малої теореми Ферма, поширеної на поліноми. Її можна легко довести, використовуючи біноміальну теорему та факт, що ${n \choose k}\equiv 0{\pmod {n}}$ для всіх 0 < k < n, якщо n просте. Хоч ця рівність сама по собі є тестом простоти, її перевірка потребує експоненційного часу. Тому AKS використовує пов'язану з попередньою конгруенцію

$(x-a)^{n}\equiv (x^{n}-a){\pmod {n,x^{r}-1}}$,

яку можна перевірити за поліноміальний час. Проте ця конгруенція виконується не тільки для всіх простих чисел, але й для деяких складених. Доведення коректності AKS полягає в такому: показати існування відповідного малого r та відповідної малої множини цілих чисел A таких, що коли конгруенція виконується для всіх a в A, то n має бути простим. Алгоритм тестування простоти деякого цілого числа n складається з двох частин. Перший крок знаходить таке відповідне просте $r=kq+1$, що:

• $P(r-1)=q$ де $P(x)$ — найбільший простий дільник числа $x$,
• $q\geq 4{\sqrt {r}}\log _{2}(n),$
• $n^{k}\not \equiv 1{\pmod {r}}.$

Під час цього кроку важливо перевірити, що n не ділиться ні на яке просте $p\leq r$; якщо це не так, то алгоритм можна негайно завершити з повідомленням: n складене. На другому кроці виконується низка перевірок в скінченному полі $GF(n^{r})$, кожен раз перевіряється рівність двох поліномів над цим полем: якщо

$(x-a)^{n}\equiv (x^{n}-a){\pmod {n,x^{r}-1}}$

для всіх додатних цілих чисел a з

$a\leq 2{\sqrt {r}}\log _{2}(n),$

то n ґарантовано є простим. У всіх інших випадках воно складене. Як і для інших таких алгоритмів, стаття стосується встановлення двох фактів: доведення коректності алгоритму та оцінки його асимптотичної часової складності. Це досягнуто доведенням двох ключових фактів, по-перше, показано, що підхоже r можна завжди знайти й встановленням верхньої границі його величини, по-друге, показано, що перевірки низки рівностей у другій частині алгоритму достатньо для гарантування розрізнювання: n просте чи складене. Оскільки час виконання обидвох частин алгоритму повністю залежить від величини r, отримання верхньої границі для r було достатнім, щоб показати, що асимптотична часова складність алгоритму рівна O$(\log ^{12+\epsilon }(n))$, де ε — мале дійсне число. Іншими словами, алгоритм потребує менше часу, ніж константа, помножена на дванадцятий (плюс ε) степінь числа розрядів в n. Проте доведена в роботі верхня межа значно завищена, насправді, виконання припущення про розподіл простих чисел Софі Жермен негайно зменшило б оцінку до O$(\log ^{6+\epsilon }(n))$. У наступні після відкриття місяці з'явилися нові варіанти (Ленстра 2002, Померанце 2002, Берізбейтіа 2003, Ченг 2003, Бернштейн 2003a/b, Ленстра та Померанце 2003), які покращили швидкість на кілька порядків. Через існування багатьох варіантів Крандел та Пападопоулос посилаються на «AKS-клас» алгоритмів у своїй науковій роботі «On the implementation of AKS-class primality tests» («Про реалізацію тестів простоти з AKS-класу»), опублікованій у березні 2003 р.

Оновлений AKS

У відповідь на деякі з цих варіантів та інші зауваження стаття «PRIMES is in P» була повторно опублікована з новим формулюванням AKS-алгоритму та доведенням його коректності. Хоча основна ідея залишилася тією ж, r вибирається по-іншому й доведення коректності виконано більш прозоро. Попереднє доведення спиралося на багато різних методів, а нова версія використовує майже виключно поведінку циклотомічних поліномів над скінченними полями. AKS-алгоритм знову складається з двох частин, і перший полягає в знаходженні відповідного r; проте у новій версії r є таким найменшим додатним цілим, що: $o_{r}(n)>\log ^{2}n,$ На другому кроці знову перевіряється конгруенція

$(x-a)^{n}\equiv (x^{n}-a){\pmod {n,x^{r}-1}}$

У цьому разі для всіх додатних цілих менших від ${\sqrt {\phi (r)}}\log _{2}(n)$ де $\phi (r)$ — значення функції Ейлера для r. Ці зміни спростили хід доведення коректності. Вони також дозволили зменшити границю часової складності, яка відтоді оцінюється як O$(\log ^{10.5}n)$.

Ленстра та Померанце показали як вибрати поліноми в тесті, щоб досягти часової границі O$(\log ^{6}n)$.

Література

1. ↑ Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, «PRIMES is in P», Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781–793.
2. ↑ H. W. Lenstra, Jr. and Carl Pomerance, «Primality Testing with Gaussian Periods», preliminary version July 20, 2005.

Зовнішні посилання

• R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
• Article by Borneman, містить фото й інформацію про трьох індійських вчених (PDF)
• Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime
• The Prime Facts: From Euclid to AKS, by Scott Aaronson (PDF)
• The «PRIMES is in P» FAQ