Гвинтове числення

Гвинтове числення — розділ векторного числення, в якому вивчаються операції над гвинтами.

Означення

Геометричний образ - еквівалент системи векторів, представлюваний для будь-якої точки простору головним вектором й головним моментом системи відносно цієї точки, називається мотором (сполучення слів "момент" й "вектор").

Якщо система ковзних векторів приведена до точки, яка лежить на центральній осі, то головний момент є колінеарним головному векторові. Мотор $(\mathrm {r} ,\mathrm {r} _{0})$, у якого момент $\mathrm {r} _{0}$ є колінеарним вектору, називається гвинтом.

Гвинт — впорядкована пара колінеарних векторів $(\mathrm {r} ,\mathrm {r} _{0})$, прикладених в певній точці. Вектор $\mathrm {r}$ називається вектором гвинта, пряма, що визначається цим [ковзним] вектором ($\mathrm {r}$ лежить на прямій) — віссю гвинта, а вектор $\mathrm {r} _{0}$ — моментом гвинта. З колінеарності даних векторів випливає, що $\mathrm {r} _{0}=p\mathrm {r}$. Число $p$ називається параметром гвинта і є скалярним множником. Величина цього множника є додатною, якщо $\mathrm {r}$ та $\mathrm {r} _{0}$ спрямовані у одну й ту саму сторону, та від'ємною, якщо вони спрямовані у різні сторони.

Кліфорд увів операцію, за допомогою якої мотор $(\mathrm {r} ,\mathrm {r} _{0})$ виражається формально у вигляді комплексного вектора

$\mathrm {r} +\omega \mathrm {r} _{0},$

де $\omega$ - множник, квадрат якого дорівнює нулю. Якщо оперувати із такого роду комплексним вектором як із формальною сумою, то $\omega$ буде відігравати роль числа, яке має властивість $\omega ^{2}=0.$

Означення через алгебру дуальних чисел

Гвинт можна уявити як дуальний вектор виду $\mathrm {r} +\varepsilon \mathrm {r} _{0}$, що дозволяє ввести над гвинтами операції, аналогічні операціям над векторами.

• $\mathrm {r} +\varepsilon \mathrm {r} _{0}=\mathrm {r} (1+\varepsilon p)$

• Число $|\mathrm {r} |e^{\varepsilon p}$ називається модулем гвинта.

Література

• Ball R., A Treatise on the Theory of the Screws. Dublin. 1876;
• Joe Rooney William Kingdon Clifford, Department of Design and Innovation, the Open University, London.
• Ravi Banavar notes on Robotics, Geometry and Control [Архівовано 29 серпня 2017 у Wayback Machine.]