Детермінований хаос
Було запропоновано приєднати цю статтю або розділ до Теорія хаосу, але, можливо, це варто додатково обговорити. Пропозиція із січня 2018. |
Детерміно́ваний хао́с — хаотична поведінка детерміністичної системи, яка проявляється через надзвичайно високу чутливість до початкових умов. Явище детермінованого хаосу неодноразово спостерігалося як в лабораторних умовах (в плазмі, електричних колах, лазерах, хімічних реакціях, рідинах, в низці механічних пристроїв) так і в природі (динаміка зростання популяцій та метеорологічні явища). Першими дослідниками хаосу були французькі математики Анрі Пуанкаре та Жак Адамар. Термін «хаос» увів в обіг американський математик Джеймс Йорк в 1975 році.
Визначення[ред. | ред. код]
Еволюція детерміністичної системи характеризується тим, що для будь-якого початкового стану системи в момент часу однозначно визначений стан в момент часу . Якщо характеризувати систему певним набором змінних , то математично еволюцію системи можна записати
- ,
де — оператор еволюції.
Проте, детермінованість еволюції не означає її стійкості. Якщо розглянути два початкові стани i , які дуже близькі один до одного, то стани і не обов'язково будуть близькими.
Детермінований хаос виникає тоді, коли результати еволюції, що починаються із нескінченно малого околу певної початкової точки, покривають скінченну область у фазовому просторі, тобто коли незначне відхилення у початкових умовах призводить до значного відхилення в кінцевій точці.
Найпростішою неперервною системою, в якій спостерігається детермінований хаос, є дивний атрактор Лоренца.
У системах, що описуються нелінійними диференційними рівняннями, обов'язкою умовою існування детермінованого хаосу є вимога того, щоб система описувалася принаймні трьома динамічними змінними. У двовимірному випадку неможливо побудувати фазовий портрет системи, в якому фазові траєкторії не перетиналися б (вимога детермінізму) й існував хаос. У системах із дискретним часом такої вимоги не існує. Наприклад, хаос виникає в одновимірній задачі про відображення повернення, яка визначається рівнянням:
- .
Історія[ред. | ред. код]
В основу теорії хаосу лягли, серед інших, роботи Анрі Пуанкаре, Едварда Лоренца, Бенуа Мандельброта, Бориса Чирікова, Якова Синая та Мітчела Файгенбаума.
Першовідкривачем хаосу вважають Анрі Пуанкаре[1]. Під час дослідження задачі трьох тіл він встановив існування траєкторій, які не є періодичними, не зростають безмежно і не прямують до якоїсь фіксованої точки. В 1898 році Жак Адамар показав[2], що динаміка частинки, що котиться без тертя вздовж поверхні з негативною кривизною є хаотичною, тобто всі траєкторії частинки є нестійкими і екпоненційно розбігаються з плином часу. Детальніше див. Більярд Адамара
Розвиток теорії детермінованого хаосу значно прискорився після винаходу комп'ютерів. В 1963 американський фізик Едвард Лоренц опублікував[3] свої чисельні дослідження термічної конвекції в яких спостерігалася надзвичайна чутливість системи до початкових умов.
Хаотична динаміка[ред. | ред. код]
Гамільтонівський хаос[ред. | ред. код]
Хаос в дисипативних системах[ред. | ред. код]
Турбулентність[ред. | ред. код]
Квантовий хаос[ред. | ред. код]
Значимість та застосування[ред. | ред. код]
Існування детермінованого хаосу накладає обмеження на можливість моделювання складних процесів, наприклад, метеорологічних. Довготермінове прогнозування погоди стає неможливим не тому, що математичні моделі, які при цьому використовуються, обмежені, а тому, що найменша похибка в зібраних даних із необхідністю призводить до зовсім неправильного результату.
Див. також[ред. | ред. код]
Джерела[ред. | ред. код]
- ↑ ^ Jules Henri Poincaré (1890) "Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Divergence des séries de M. Lindstedt, " Acta Mathematica, vol. 13, pages 1-270.
- ↑ Jacques Hadamard (1898) "Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodesiques, " Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 4, pages 27-73.
- ↑ Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci.. — 1963. — Т. 20. — С. 130–141. — DOI: .
Література[ред. | ред. код]
- Сугаков В. Й. Основи синерґетики. — К. : Обереги, 2001. — 287 с.
- Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.М.Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0
- Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М. : Мир, 1984. — 528 с.
- Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. — М. : Мир, 1988. — 248 с.
- Ott E. Chaos in Dynamical Systems. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-01084-5.
Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |