Дотичний вектор
Існують дві основні модифікації: дотичний вектор в точці p підмноговиду і його узагальнення дотичний вектор в точці p гладкого многовиду.
Сукупність усіх дотичних векторів в точці p утворить векторний простір, який називається дотичним простором в точці p. Сукупність усіх дотичних векторів в усіх точках многовиду утворить векторне розшарування, яке називається дотичним розшаруванням.
Дотичний вектор в точці p гладкого підмноговиду евклідового простору — вектор швидкості в точці p деякої кривої в .
Інакше кажучи, дотичний вектор в точці p підмноговиду, локально заданого параметрично:
- С
є довільна лінійна комбінація частинних похідних .
- Для цього визначення дотичного вектора достатньо, щоб підмноговид був класу гладкості .
- Згідно з теоремою Уітні про вкладення, довільний гладкий n-вимірний многовид допускає вкладення в . За цим, не порушуючи строгість, можна використовувати дане визначення для будь-якого гладкого многовиду. Певна річ при цьому доведеться доводити, незалежність визначення від вкладення.
Поняття дотичного вектора до многовиду в точці узагальнює поняття дотичного вектора до гладкого шляху в просторі . Нехай в задано гладкий шлях :
Тоді існує єдиний прямолінійний і рівномірний шлях \ mathbf {l} (t), який дотикається до нього в момент часу t0:
Дотик двох шляхів означає, що різниця — ; відношення дотичності шляхів в точці є відношенням еквівалентності. Дотичний вектор в точці x0 можна визначити як клас еквівалентності всіх гладких шляхів, що проходять через точку x0 в один і той же момент часу, і дотикаються один з одним у цій точці.
Нехай — гладкий многовид. Розглянемо простір операторів X, що зіставляють кожній гладкій функції число і мають такі властивості:
- Адитивність:
- Правило Лейбніца:
множина всіх таких операторів в точці p має природну структуру лінійного простору, а саме:
Це простір назвемо дотичним до многовиду в точці p простором, а його елементи — дотичними векторами.
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т Современная геометрия. Методы и приложения — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с
- Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
- Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.