Квадратична форма
Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.
Означення[ред. | ред. код]
Нехай є полем. Квадратичною формою над полем називається однорідний многочлен другого степеня, тобто:
Якщо характеристика поля не є рівною 2, то як правило у цьому виразі В іншому випадку можна ввести нові коефіцієнти Для полів характеристики 2 таку заміну не можливо провести.
Квадратичну форму від n змінний називають n-арною, зокрема бінарною для n = 2.
Квадратичні простори і білінійні форми[ред. | ред. код]
Еквівалентно , нехай є скінченновимірним векторним простором . Тоді квадратичною формою називається відображення для якого для всіх і відображення є білінійним, тобто лінійним по аргументах і .
Простір із введеною квадратичною формою називається квадратичним простором.
Для полів характеристика яких не є рівною 2 квадратична форма породжує симетричну білінійну форму:
Ця білінійна форма називається асоційованою білінійною формою. Навпаки симетрична білінійна форма породжує квадратичну форму:
Для полів характеристики 2 можна ввести білінійну форму пов'язану із квадратичною але у цьому випадку навпаки ця форма не визначає початкову квадратичну форму оскільки
Асоційовані білінійні форми дозволяють записати квадратичну форму як однорідний многочлен другого степеня від координат вектора у деякому базисі . А саме:
де — розклад вектора через елементи базису, а
Для двох квадратичних просторів і лінійне відображення називається ізометрією якщо воно є ін'єктивним і Якщо це лінійне відображення є ізоморфізмом, то простори називаються ізометричними. Ізометричні простори є ізоморфними як квадратичні простори.
Матриця квадратичної форми[ред. | ред. код]
Нехай є квадратичною формою.
Матрицю називають матрицею квадратичної форми . У разі, якщо характеристика поля не дорівнює 2, можна вважати, що матриця квадратичної форми симетрична, тобто .
Позначивши вектор-стовпець змінних квадратичну форму можна записати у матричному виді:
Навпаки кожна симетрична матриця таким чином задає квадратичну форму.
Якщо квадратична форма визначена як квадратичне відображення на квадратичному просторі над полем характеристика якого не є рівною 2, то елементи матриці задаються значеннями асоційованої білінійної форми для деякого базису :
Якщо — деякий базис лінійного простору то квадратична форма буде представлена як:
Якщо деякий інший базис e де — невироджена матриця.
Тоді при переході до нового базису матриця квадратичної форми зміниться на конгруентну матрицю:
Квадратичні форми називаються еквівалентними, якщо їх матриці пов'язані рівністю для деякої невиродженої матриці .
З формули випливає, що визначник матриці квадратичної форми не є її інваріантом (тобто не зберігається при заміні базису, на відміну, наприклад, від матриці лінійного відображення), але її ранг є інваріантом. Таким чином, визначено поняття рангу квадратичної форми.
Якщо матриця квадратичної форми має повний ранг , то квадратичну форму називають невиродженою, в іншому випадку - виродженою.
Приклади[ред. | ред. код]
Квадратична форма від однієї змінної:
Квадратична форма від двох змінних:
Квадратична форма від трьох змінних:
Канонічна форма[ред. | ред. код]
Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд: .
Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа). Дана діагоналізація може бути не є диною
У випадку дійсних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі рівні 1, -1 або 0. Для комплексних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі рівні 1 або 0.
Для дійсних квадратичних форм виконується закон інерції Сильвестра: кількість нульових, додатних та від'ємних елементів в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми.
Означені дійсні квадратичні форми[ред. | ред. код]
Квадратична форма над полем дійсних чисел називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо
Одним із важливих результатів про додатноозначені і від'ємноозначені матриці є критерій Сильвестра:
- Квадратична форма є додатноозначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
- Квадратичная форма є від'ємноозначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від'ємний.
Джерела[ред. | ред. код]
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
- Квадратичні форми // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 63. — 594 с.