Квадратний корінь з трьох

Висота рівностороннього трикутника з сторонами 2 рівна квадратному кореню з 3.

Квадратний корінь з трьох — додатне дійсне число, яке в другій степені дорівнює числу 3. Позначається як √3 або 3^1/2. Квадратний корінь з трьох є ірраціональним числом. Його також називають константою Феодора на честь давньогрецького математика Феодора Кіренського, який довів ірраціональність даного числа.

Станом на грудень 2013, його значення обчислили з точністю більше ніж десять мільйонів десяткових знаків. Перші 65 десяткових знаків √3:

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806

Дріб 9756(1.732142857...) можна використати як наближення. Незважаючи на те що знаменник 56 є меншим за 100, значення виразу відрізняється від √3 менше ніж на 110,000 (близько 9.2×10⁻⁵). Округлене значення 1.732 точне в межах 0.01 % від справжнього значення.

Архімед знайшов проміжок для його значення: (1351780)²
> 3 > (265153)²
; нижня границя точна до 1608400 (шість десяткових знаків), верхня до 223409 (чотири десяткових знаки).

Способи обчислення

Ланцюговим дробом

√3 можна виразити ланцюговим дробом [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] послідовність A040001 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Отже якщо:

${\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$

то коли $n\to \infty$ :

${\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a_{22}}{a_{12}}}-1$

Доведення ірраціональності

Методом Ферма

Це доведення ірраціональності числа √3 використовує метод нескінченного спуску Ферма:

Припустимо що √3 є раціональним числом, і виразимо його в формі повністю спрощеного дробу форми mn, де m та n - натуральні числа.

Помножимо чисельник та знаменник на $({\sqrt {3}}-q)$ і отримаємо рівнозначний вираз:

${\frac {m({\sqrt {3}}-q)}{n({\sqrt {3}}-q)}}$

де q — найбільше ціле число менше ніж √3. Зверніть увагу, що чисельник та знаменник множаться на число менше 1.

Розкриємо дужки:

${\frac {m{\sqrt {3}}-mq}{n{\sqrt {3}}-nq}}$

З припущення отримаємо, що m можна замінити на √3n:

${\frac {n{\sqrt {3}}^{2}-mq}{n{\sqrt {3}}-nq}}$

Далі √3 замінимо на mn в знаменнику:

${\frac {n{\sqrt {3}}^{2}-mq}{n{\frac {m}{n}}-nq}}$

Квадрат числа √3 можна замінити на 3, а mn * n спростити до m:

${\frac {3n-mq}{m-nq}}$

Отже √3 можна виразити меншим дробом ніж mn як 3n − mqm − nq(оскільки в першому кроці ми зменшили величину чисельника та знаменника, і наступні кроки не змінили їх) , що заперечує припущення про те, що mn складався з найменших можливих чисел.

Інші способи

В альтернативному способі доведення, припустимо, що √3 =  mn  де  mn повністю скорочений дріб:

Помножимо на n обидві частини, тоді піднесемо до квадрату та отримаємо:

$3n^{2}=m^{2}.$

Оскільки ліву частину можна поділити на 3, те саме можна сказати і про праву: m повинне ділитись на 3. Тоді, m можна виразити як 3k:

$3n^{2}=(3k)^{2}=9k^{2}$

Поділивши обидві частини на 3 отримаємо:

$n^{2}=3k^{2}$

Оскільки праву частину можна поділити на 3, те саме можна сказати про ліву, а отже і про число n. Оскільки, n та m діляться на три, в них є спільний дільник, тому mn не є повністю скороченим дробом, що заперечує початкове припущення.

Див. також

• Квадратний корінь з двох

Джерела

• S., D.; Jones, M. F. (1968). 22900D approximations to the square roots of the primes less than 100. Mathematics of Computation. 22 (101): 234—235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
• Uhler, H. S. (1951). Approximations exceeding 1300 decimals for ${\sqrt {3}}$, ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$, $\sin({\frac {\pi }{3}})$ and distribution of digits in them. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443—447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
• Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (вид. Revised). London: Penguin Group. с. 23.