У цій статті розглядається математична основа загальної теорії відносності.
Наше інтуїтивне сприйняття свідчить, що простір-час є регулярним і неперервним, тобто не має «дірок». Математично ці властивості означають, що простір-час буде моделюватися гладким диференційовним многовидом 4 вимірів , тобто простором розмірності 4, для якого окіл кожної точки схожий локально на чотиривимірний евклідів простір. Гладкість тут означає достатню диференційовність, поки без уточнення її ступеня.
Оскільки крім того з хорошою точністю виконуються закони спеціальної теорії відносності, то такий многовид можна наділити лоренцевою метрикою, тобто невиродженим метричним тензором з сигнатурою (або, що еквівалентно, ). Значення цього розкривається в наступному розділі.
Геометрія простору-часу[ред. | ред. код]
NB Ця стаття дотримується класичних домовленостей щодо знаків Мізнера, Торна і Вілера[1]
У цій статті приймається також угода Ейнштейна для підсумовування за повторюваними індексами.
Диференційовний многовид[2] M, забезпечений лоренцевим метричним тензором g, і є таким чином лоренцевим многовидом, який є частковим випадком псевдоріманового многовида (визначення «лоренців» буде уточнено далі в тексті; див. розділ Лоренцева метрика).
Візьмемо довільну систему координат в околі точки , і нехай — локальний базис у дотичному просторі до многовида у точці . Дотичний вектор запишеться тоді як лінійна комбінація базисних векторів:
|
При цьому величини називаються контраваріантними компонентами вектора w. Метричний тензор тоді — симетрична білінійна форма:
|
де через позначено дуальний відносно базис в кодотичному просторі , тобто такі лінійні форми на , що:
|
Далі будемо припускати, що компоненти метричного тензора змінюються в просторі-часі неперервно[3].
Метричний тензор, таким чином, може бути поданий дійсною симетричною матрицею 4x4:
|
Взагалі будь-яка дійсна матриця 4x4 має апріорі 4 x 4 = 16 незалежних елементів. Умова симетрії зменшує це число до 10: насправді, залишається 4 діагональних елементи, до яких треба додати (16 — 4)/2 = 6 недіагональних елементів. Тензор має, таким чином, тільки 10 незалежними компонент.
Метричний тензор визначає для кожної точки многовида псевдо-скалярний добуток («псевдо-» в тому сенсі, що відсутня позитивна визначеність асоційованої квадратичних форм (квадрата вектора); див. Лоренцева метрика) в дотичному до різноманіття в точці псевдоевклідовому просторі . Якщо і — два вектора , їх скалярний добуток запишеться як:
|
Зокрема, взявши два базисних вектори, отримуємо компоненти:
|
Зауваження: якщо величини позначають контраваріантні компоненти вектора w, то можна визначити також його коваріантні компоненти як:
|
Елементарна відстань — інтервал[ред. | ред. код]
Розглянемо вектор елементарного переміщення між точкою і нескінченно близькою точкою: . Інваріантною інфінітезимальною нормою цього вектора буде дійсне число, що позначається , зване коефіцієнтом інтервалу, і рівне:
.
|
Якщо позначити компоненти вектора елементарного переміщення «по фізичному» , інфінітезимальний квадрат довжини (інтервалу) запишеться формально як:
|
Увага: в цій формулі, а також і далі, є дійсним числом, що інтерпретується як фізично «інфінітезимальна зміна» координати , а не як диференціальна форма!
Уточнимо тепер вираз «лоренцева» (точніше «локально лоренцева»), який означає, що метричний тензор має сигнатуру (1,3) і локально збігається в першому порядку з лоренцевою метрикою спеціальної теорії відносності. Принцип еквівалентності стверджує, що можна «стерти» локально поле гравітації, вибираючи локально інерційну систему координат. З математичної точки зору такий вибір є переформулюванням відомої теореми про можливість зведення квадратичної форми до головних осей.
У такий локально інерційній системі координат інваріант у точці запишеться як:
|
де є метрикою простору-часу Мінковського, а в малому околі цієї точки
|
де має мінімум другий порядок малості за відхиленнями від координат точки , тобто . Приймаючи домовленість щодо знаків Мізнера, Торна і Вілера, маємо[1]:
|
Далі використовуються такі звичайні домовленості:
- грецькі індекси змінюються від 0 до 3. Вони відповідають величинам у просторі-часі.
- латинські індекси змінюються від 1 до 3. Вони відповідають просторовим складовим величин у просторі-часі.
Наприклад, 4-вектор стану запишеться в локально інерційній системі координат як:
|
Увага: насправді скінченні, а не інфінітезимальні прирости координат не утворюють вектора. Вектор з них виникає лише в однорідному просторі нульової кривини і тривіальної топології.
Лоренців характер многовида забезпечує, таким чином, те, що дотичні до у кожній точці псевдоевклідового простору будуть мати псевдоскалярні добутки («псевдо-» в тому сенсі, що відсутня додатна визначеність асоційованої квадратичної форми (квадрата вектора)) з трьома строго додатними власними значеннями (що відповідають простору) і одним строго від'ємним власним значенням (відповідним часу). Зокрема, елементарний інтервал «власного часу», що відокремлює дві послідовні події, завжди:
|
Загальні поняття афінної зв'язності і коваріантної похідної[ред. | ред. код]
Узагальнено, афінною зв'язністю називається оператор , який приводить у відповідність векторному полю з дотичного пучка поле ендоморфізмів цього пучка. Якщо — дотичний вектор у точці , зазвичай позначають
|
Кажуть, що є «коваріантною похідною» вектора в напрямку . Припустимо до того ж, що задовольняє додатковій умові: для будь-якої функції f виконується
|
Ковариантная похідна задовольняє таким двом властивостям лінійності:
- лінійність за w, тобто, якими б не були поля векторів w і u і дійсні числа a і b, ми маємо:
|
- лінійність за V, тобто, якими б не були поля векторів X і дійсні числа a і b, ми маємо:
|
Як тільки коваріантну похідну визначено для полів векторів, її можна поширити на тензорні поля з використанням правила Лейбніца: якщо і — два будь-яких тензори, то за визначенням:
|
Коваріантна похідна поля тензора вздовж вектора w є знову поле тензора того ж типу.
Зв'язність, асоційована з метрикою[ред. | ред. код]
Можна довести, що зв'язність, асоційована з метрикою — зв'язність Леві-Чивіти[1] [Архівовано 9 квітня 2016 у Wayback Machine.], є єдиною зв'язністю, яка, крім попередніх умов, додатково забезпечує те, що для будь-яких полів векторів X, Y, Z з TM
- (метричність — тензор неметричності дорівнює нулю).
- , де — комутатор Лі від X і Y (відсутність кручення — тензор кручення дорівнює нулю).
Коваріантна похідна вектора є вектор, і, таким чином, її можна виразити як лінійну комбінацію всіх базисних векторів:
|
де є компонентами вектора коваріантної похідної в напрямку (ця складова залежить від вибраного вектора w).
Щоб описати коваріантну похідну, досить описати її для кожного з базисних векторів вздовж напрямку . Визначимо тоді символи Крістофеля (або просто крістофелі) залежні від 3 індексів[4]
|
Зв'язність Леві-Чивіти повністю характеризується своїми символами Крістофеля. Згідно з загальною формулою
|
для вектора V:
|
Знаючи, що , отримуємо:
|
Перший член цієї формули описує «деформацію» системи координат відношенню коваріантної похідної, а другий — зміни координат вектора V. При підсумовуванні за німими індексами можна переписати це співвідношення у формі
|
З цього одержуємо важливу формулу для компонент:
|
Використовуючи формулу Лейбніца, так само можна продемонструвати, що:
|
Щоб обчислити ці складові в явній формі, вирази для символів Крістофеля слід визначити, виходячи з метрики. Їх легко отримати, написавши такі умови:
|
Розрахунок цієї коваріантної похідної приводить до
|
де — компоненти «оберненого» метричного тензора, визначені рівняннями
|
Символи Крістофеля «симетричні»[5] відносно нижніх індексів:
Зауваження: інколи визначаються також такі символи:
|
одержувані як:
|
Тензор кривини Рімана[ред. | ред. код]
Тензор кривини Рімана R — тензор 4-ї валентності, визначений для будь-яких векторних полів X, Y, Z з M як
|
Його компоненти в явній формі виражаються з метричних коефіцієнтів:
|
|
Симетрії цього тензора:
|
|
Він задовольняє також таким співвідношенням:
|
Тензор кривини Річчі[ред. | ред. код]
Тензор Річчі — тензор валентності 2, визначений згорткою тензора кривини Рімана
|
Його компоненти в явному вигляді через символи Крістофеля:
|
Цей тензор симетричний: .
Скалярна кривина є інваріантом, що визначається згорткою тензора Річчі з метрикою
|
Рівняння гравітаційного поля, які називаються рівняннями Ейнштейна, записуються так
|
або так
|
де — космологічна стала, — швидкість світла у вакуумі, — гравітаційна стала, яка з'являється також у законі всесвітнього тяжіння Ньютона, — тензор Ейнштейна, а — тензор енергії-імпульсу.
Симетричний тензор має тільки 10 незалежних складових, тензорне рівняння Ейнштейна в заданій системі координат еквівалентне системі 10 скалярних рівнянь. Ця система 10 пов'язаних нелінійних рівнянь у часткових похідних у більшості випадків дуже складна для вивчення.
Тензор енергії-імпульсу[ред. | ред. код]
Тензор енергії-імпульсу може бути записаний у вигляді дійсної симетричної матриці 4x4:
|
У ньому виявляються такі фізичні величини:
- T00 — об'ємна густина енергії. Вона має бути додатною.
- T10, T20, T30 — густини компонент імпульсу.
- T -01, T -02, T03 — компоненти потоку енергії.
- Підматриця 3 x 3 з чисто просторових компонент:
|
— матриця потоків імпульсів. У механіці рідини діагональні компоненти відповідають тиску, а решта складових — тангенціальним зусиллям (напругам або, в старій термінології — натягам), викликаним в'язкістю.
Для рідини у спокої тензор енергії-імпульсу зводиться до діагональної матриці , де є густина маси, а — гідростатичний тиск.
- ↑ а б C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. або Ч. МИЗНЕР, К. ТОРН, Дж. УИЛЕР. ГРАВИТАЦИЯ. том I—III. М. Мир, 1977.
- ↑ Далі ми скрізь не пишемо індекс 4, який уточнює розмірність многовида «M».
- ↑ Точніше, вони мають бути принаймні класу C².
- ↑ Увага, символи Крістофеля не є тензорами.
- ↑ Слово «симетричні» взято в лапки, оскільки ці індекси в силу свого походження — не тензорні.