Богдан Михайліченко народився в Борисполі, де й почав займатися футболом. Першим тренером Богдана був Олександр Курилко. У чемпіонатів ДЮФЛ виступав спочатку за ФК «Княжа», а у 2010 році перейшов до системи київського «Динамо».
З 2012 року активно викликався до юнацької збірної України, складеної з гравців 1997 року народження, яку очолював Олег Кузнецов. Залучався до ігор збірної під проводом Олександра Головка, де виступали хлопці на рік старші за Михайліченка.
23 липня2013 року дебютував в юнацькій команді київського «Динамо» в матчі проти львівських «Карпат», а вже за два місяці, 28 вересня того ж року, вперше з'явився на полі у грі молодіжного складу киян проти «Ворскли».
У липні 2017 року на правах оренди перейшов у кам'янську «Сталь»[2]. Дебютував за команду 16 липня 2017 року в матчі першого туру Прем'єр-ліги проти луганської«Зорі» (1:0), вийшовши у стартовому складі і відігравши увесь матч[3]. У грудні 2017 року Михайліченко розірвав угоду зі «Сталлю» і перейшов на правах оренди до луганської «Зорі»[4]. У серпні 2020 року підписав 4-річний контракт із бельгійським «Андерлехтом».
27 липня 2022 року було оголошено про досягнення угоди щодо оренди Богдана Михайличенка з «Андерлехта» до донецького«Шахтаря».[5] В угоду також було включено право викупу гравця за 2,5 мільйона євро. «Шахтар», після одного проведеного сезону футболістом у клубі, не скористався правом викупу. За «гірників» Михайличенко зіграв 32 матчі, відзначився двома забитими голами і п'ятьма гольовими передачами.