Незалежність випадкових величин

Означення Дискретні випадкові величини $\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}$ називаються незалежними, якщо для довільних множин $B_{1},B_{2},\ldots ,B_{n}$:

$\mathbb {P} (\xi _{1}\in B_{1},\xi _{2}\in B_{2},\ldots ,\xi _{n}\in B_{n})=\prod _{k=1}^{n}\mathbb {P} (\xi _{k}\in B_{k})$

Альтернативне означення Нехай дано сімейство випадкових величин $(X_{i})_{i\in I}$, отже $X_{i}:\Omega \to \mathbb {R} ,\;\forall i\in I$. Тоді ці випадкові величини попарно незалежні, якщо попарно незалежні породжені ними σ-алгебри $\{\sigma (X_{i})\}_{i\in I}$. Випадкові величини незалежні в сукупності, якщо такі породжені ними σ-алгебри.

Визначення, дане вище, еквівалентно будь-якому іншому з наведених нижче. Дві випадкові величини $X,Y$ незалежні тоді і лише тоді, коли:

• Для будь-яких $A,B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$,

$\mathbb {P} (X\in A,Y\in B)=\mathbb {P} (X\in A)\cdot \mathbb {P} (Y\in B)$;

• Для будь-яких борелівських функцій $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ випадкові величини $f(X),g(Y)$ незалежними;
• Для будь-яких обмежених борелівських функцій $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$\mathbb {E} \left[f(X)g(Y)\right]=\mathbb {E} \left[f(X)\right]\cdot \mathbb {E} \left[g(Y)\right]$;

Властивості незалежних випадкових величин

Теорема про спадковість незалежності випадкових величин. Якщо $\xi$ та $\eta$ - незалежні випадкові величини, а $f(\cdot ),g(\cdot )$ - незалежні, невипадкові функції, які визначені на області можливих значень $\xi$ та $\eta$ відповідно, то $f(\xi )$ та $g(\eta )$ - незалежні випадкові величини.

• Нехай $\mathbb {P} ^{X,y}$ - розподіл випадкового вектора $(X,y)$, $\mathbb {P} ^{X}$ - розподіл $X$ і $\mathbb {P} ^{Y}$ - розподіл $Y$. Тоді $X,Y$ незалежними тоді і лише тоді, коли

$\mathbb {P} ^{X,y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}$,

де $\otimes$ позначає (прямий) добуток мір;

• Нехай $F_{X,y},F_{x},F_{y}$ - кумулятивні функції розподілу $(X,y),X,Y$ відповідно. Тоді $X,Y$ незалежні тоді і лише тоді, коли

$F_{X,y}(x,y)=F_{x}(x)\cdot F_{y}(y)$;

• Нехай випадкові величини $X,Y$ дискретні. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

$\mathbb {P} (X=i,Y=j)=\mathbb {P} (X=i)\cdot \mathbb {P} (Y=j)$.

• Нехай випадкові величини $X,Y$ спільно абсолютно безперервні тобто їх спільний розподіл має щільність $f_{X,Y}(x,y)$. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли

$f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y),\;\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$,

де $f_{X}(x),f_{Y}(y)$ - щільність випадкових величин $X$ і $Y$ відповідно.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)