Одностороння границя

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Функція має лівосторонню границю правосторонню границю і значення функції, рівне , у точці

Одностороння границя в математичному аналізі — границя функції дійсної змінної, яка передбачає прямування до граничної точки тільки з одного боку — зліва або справа. Такі границі називають відповідно лівосторонньою границею (або лівою границею) та правосторонньою границею (або правою границею).

Означення

[ред. | ред. код]

Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.

Нехай , причому , і  — гранична точка множини . У подальшому будемо розглядати функції .

Означення за Коші

[ред. | ред. код]

Означення правосторонньої границі

Нехай така гранична точка множини , що існує таке, що . Число називається правосторонньою границею функції в точці , якщо для довільного додатного існує додатне число таке, що для довільного виконується .

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

Означення лівосторонньої границі

Нехай така гранична точка множини , що існує таке, що . Число називається лівосторонньою границею функції в точці , якщо для довільного додатного існує додатне число таке, що для довільного виконується .

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

Використовуються також наступні скорочення:

  • і для правої границі;
  • і для лівої границі.

Означення за Гейне

[ред. | ред. код]

Означення правосторонньої границі

Нехай така гранична точка множини , що існує таке, що . Число називається правосторонньою границею фунції в точці , якщо для будь-якої послідовності , при , що збігається до числа , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .

Означення лівосторонньої границі

Нехай така гранична точка множини , що існує таке, що . Число називається правосторонньою границею фунції в точці , якщо для будь-якої послідовності , при , що збігається до числа , відповідна послідовність значень функції збіжна і має границею одне і теж саме число .

Якщо обидві односторонні границі існують в точці та рівні в ній, то можна показати, що . Якщо односторонні границі існують в точці , але не рівні, то границі в точці не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.

Приклади

[ред. | ред. код]

Приклад 1: Лівою та правою границями функції при є

та

Причина, чому , в тому, що від'ємний при , що в цьому випадку означає, що додатня, тому розходиться до .

Аналогічно, , бо додатній при , що в цьому випадку означає, що від'ємна, тому розходиться до

Графік функції

Приклад 2: Одним із прикладів функцій з різними односторонніми границями є для якої ліва границя дорівнює , а права границя —

Використовуючи попередній приклад, отримуємо:

та

Тому

а , бо знаменник прямує до нескінченності, тобто

Отже, а границі не існує.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]