Очікувана величина вимірювання (квантова механіка)

Очі́кувана величина́ вимірювання — очікуване ймовірнісне значення результату експерименту з вимірювання в квантовій механіці. Можна розглядати як середнє значення всіх можливих результатів вимірювання, зважене за їх імовірністю, і, як таке, воно не є «найбільш» імовірним значенням вимірювання; дійсно, очікуване значення може мати нульову ймовірність виникнення (наприклад, вимірювання, які можуть давати тільки цілі значення, можуть мати нецілочисельне середнє значення). Є фундаментальним поняттям у всіх галузях квантової фізики.

Популярне визначення

Розглянемо оператор $A$. Тоді очікувана величина дорівнює: $\langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle$ в позначеннях Дірака, де $|\psi \rangle$ нормалізований вектор стану.

Математичний апарат

У квантовій теорії початкові умови експерименту з вимірювання описуються спостережуваною $A$, що підлягає вимірюванню, та станом $\sigma$ системи. Очікувану величину $A$ в стані $\sigma$ позначають як $\langle A\rangle _{\sigma }$. Математично, $A$ є самоспряженим оператором у гільбертовому просторі.

У найчастіше використовуваному випадку квантової механіки, $\sigma$ є чистим станом, що описується нормалізованим вектором $\psi$ у гільбертовому просторі. Очікувану величину вимірювання $A$ в стані $\psi$ визначено як:

$\langle A\rangle _{\psi }=\langle \psi |A|\psi \rangle .$

(1)

Якщо розглядається динаміка, то приймається, що вектор $\psi$, або оператор $A$ залежить від часу, залежно від цього, використовується картина Шредінгера або картина Гейзенберга. Однак еволюція очікуваного значення залежить від цього вибору. Якщо $A$ має повний набір власних векторів $\phi _{j}$, із власними значеннями $a_{j}$, то (1) можна виразии як

$\langle A\rangle _{\psi }=\sum _{j}a_{j}|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}.$

(2)

Цей вираз схожий на середнє арифметичне та ілюструє фізичний зміст математичного формалізму: власні значення $a_{j}$ є можливими результатами експерименту з вимірювання, та відповідний їм коефіцієнт $|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}$ — це ймовірність того, що цей результат буде отримано; його часто називають ймовірністю переходу. Особливо простий випадок виникає, коли $A$ є проєкцією і, отже, має лише власні значення 0 і 1. Це фізично відповідає типу експерименту «так-ні». У цьому випадку очікуване значення — це ймовірність того, що експеримент приведе до «1», і його можна обчислити як

$\langle A\rangle _{\psi }=\|A|\psi \rangle \|^{2}.$

(3)

У квантовій теорії оператор також може мати недискретний спектр, такий як оператор координати $X$ у квантовій механіці. Цей оператор має повністю неперервний спектр, зі власними значеннями та власними векторами, що залежать від неперервного параметра $x$. Зокрема, оператор $X$ діє на просторовий вектор $|x\rangle$ як $X|x\rangle =x|x\rangle$.

У цьому випадку вектор $\psi$ можна записати як комплекснозначну функцію $\psi (x)$ на спектрі $X$ (зазвичай реальна лінія). Формально це досягається проєктуванням вектора стану $|\psi \rangle$ на власні значення оператора, як у дискретному випадку ${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$. Трапляється, що власні вектори позиційного оператора утворюють повний базис для векторного простору станів і, отже, підпорядковуються рівнянню замикання:

$$\int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I}$$

Викладене вище можна використати для отримання загального інтегрального виразу для очікуваного значення (4) шляхом вставлення ідентифікаторів у векторний вираз очікуваного значення, а потім розширення на основі позиції:

$${\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} |\psi \rangle =\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\delta (x-x')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{aligned}}$$

Де умова ортонормованості базисних векторів координат $\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')$ зменшує подвійний інтеграл до одного інтеграла. В останньому рядку використовується модуль комплексної функції для заміни $\psi ^{*}\psi$ на $|\psi |^{2}$, що є звичайною заміною в квантово-механічних інтегралах.

Потім можна вказати очікуване значення, де $x$ необмежене, у вигляді формули:

$\langle X\rangle _{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }\,x\,|\psi (x)|^{2}\,dx.$

(4)

Аналогічна формула справедлива для оператора імпульсу $P$ у системах, де він має неперервний спектр.

Усі наведені вище формули дійсні лише чистих станів $\sigma$. Важливими в термодинаміці та квантовій оптиці також є «змішані стани»; вони описуються додатним оператором класу сліду

${\textstyle \rho =\sum _{i}\rho _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$,

«статистичний оператор» або «матриця густини». Потім очікуване значення можна отримати як

$\langle A\rangle _{\rho }=\operatorname {Trace} (\rho A)=\sum _{i}\rho _{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\rho _{i}\langle A\rangle _{\psi _{i}}.$

(5)

Загальне формулювання

У загальному випадку квантові стани $\sigma$ описують додатними нормалізованими лінійними функціоналами на множині спостережуваних, які математично часто приймають за C*-алгебру. Очікуване значення $A$ дається як

$\langle A\rangle _{\sigma }=\sigma (A).$

(6)

Якщо алгебра спостережуваних діє незвідно в гільбертовому просторі, і якщо $\sigma$ є «нормальним функціоналом», тобто неперервним у надслабкій топології, то її можна записати як

$$\sigma (\cdot )=\operatorname {Trace} (\rho \;\cdot )$$

з додатним оператором класу сліду $\rho$ сліду 1. Це дає формулу (5) вище. У разі чистого стану $\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$ — це проєкція на одиничний вектор $\psi$. Тоді $\sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle$ дає формулу (1) вище.

Припускається, що $A$ — самоспряжений оператор. У загальному випадку його спектр не буде ні повністю дискретним, ні повністю неперервним. Тим не менш, можна написати $A$ в спектральному розкладі,

$$A=\int a\,dP(a)$$

за допомогою вимірюваної проєктором величини $P$. Для очікуваного значення $A$ в чистому стані $\sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle$, це означає

$$\langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,$$

який можна розглядати як узагальнення наведених вище формул (2) та (4).

У нерелятивістських теоріях скінченного числа частинок (нерелятивістська квантова механіка) аналізовані стани, як правило, є нормальними. Однак у інших галузях квантової теорії використовують також ненормальні стани: вони з'являються, наприклад, у вигляді стнів KMS у квантовій статистичній механіці нескінченно протяжних середовищ, і як заряджені стани в квантовій теорії поля.

У таких випадках очікуване значення визначають лише загальною формулою (6).

Приклад у конфігураційному просторі

Як приклад розглянемо квантово-механічну частинку в одному просторовому вимірі у поданні конфігураційного простору. Тут гільбертовим простором ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )$ є простір квадратично інтегрованих функцій на дійсній прямій. Вектори $\psi \in {\mathcal {H}}$ представлені функціями $\psi (x)$, які називають хвильовими функціями. Скалярний добуток задється ${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$. Хвильові функції мають пряму інтерпретацію як розподіл імовірностей:

$$p(x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx$$

дає ймовірність перебування частинки в нескінченно малому інтервалі довжини $dx$ у якійсь точці $x$. Як спостережуване розглянемо оператор координати $Q$, що діє на хвильові функції $\psi$ як

$$(Q\psi )(x)=x\psi (x).$$

Очікуване значення чи середнє значення вимірювань $Q$, виконаних на дуже великій кількості «ідентичних» незалежних систем, буде подано як

$$\langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,p(x)\,dx.$$

Очікуване значення існує тільки в тому випадку, якщо інтеграл збігається, що не стосується всіх векторів $\psi$. Це пов'язано з тим, що оператор координати необмежений, і $\psi$ пот рібно вибрати з його області визначення.

У загальному випадку очікування будь-якого спостережуваного можна розрахувати замінивши $Q$ відповідним оператором. Наприклад, для обчислення середнього імпульсу використовують оператор імпульсу «в конфігураційному просторі», ${\textstyle P=-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$. Очевидно, його очікуване значення дорівнює

$$\langle P\rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.$$

Загалом, не всі оператори описують вимірні́ фізичні величини. Оператор, що має чисто дійсне очікуване значення, називають спостережуваним і його значення можна безпосередньо виміряти в експерименті.

Див. також

• Відношення Релея
• Принцип невизначеності
• Теорема віріалу

Література

• Isham, Chris J (1995). Lectures on Quantum Theory: Mathematical and Structural Foundations. Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-001-9.