Прямокутний дельтоїд
Прямокутний дельтоїд — це дельтоїд (чотирикутник, який має дві пари суміжних сторін однакової довжини), який можна вписати в коло[1]. Тобто це дельтоїд з описаним колом (вписаний дельтоїд). Прямокутний дельтоїд є опуклим чотирикутником і має два протилежні прямі кути[2].
Вписане коло[ред. | ред. код]
Всі прямокутні дельтоїди є біцентричними чотирикутниками (які мають описане і вписане кола), оскільки всі дельтоїди мають вписане коло. Одна з діагоналей (яка служить віссю симетрії) ділить прямокутний дельтоїд на два прямокутні трикутники і є також діаметром описаного кола.
В описаному чотирикутнику (тобто, який має вписане коло), чотири відрізки між центром вписаного кола і точками дотику з чотирикутником розбивають чотирикутник на чотири прямокутні дельтоїди.
Особливий випадок[ред. | ред. код]
Особливим випадком прямокутних дельтоїдів є квадрати, в яких діагоналі мають однакову довжину і вписане та описане кола концентричні.
Опис[ред. | ред. код]
Дельтоїд є прямокутним дельтоїдом тоді й лише тоді, коли він має описане коло (за визначенням). Це еквівалентно тому, що дельтоїд має два протилежні прямі кути.
Формули[ред. | ред. код]
Оскільки прямокутний дельтоїд можна розбити на два прямокутні трикутники, наведені далі формули легко виходять з добре відомих властивостей прямокутних трикутників. У прямокутному дельтоїді ABCD, де два протилежні кути B і D прямі, два інші кути можна обчислити з
- ,
де a = AB = AD і b = BC = CD. Площа прямокутного дельтоїда дорівнює
Діагональ AC, яка є віссю симетрії, має довжину
і, оскільки діагоналі перпендикулярні (так що прямокутний дельтоїд є ортодіагональним чотирикутником із площею ), інша діагональ BD має довжину
Радіус описаного кола дорівнює (за теоремою Піфагора)
і, оскільки всі дельтоїди є описаними, радіус вписаного кола задає формула
- ,
де — півпериметр.
Площа задається в термінах радіуса R описаного кола та радіуса r вписаного кола як[3]
Якщо ми позначимо відрізки на діагоналях від точки перетину до вершин за годинниковою стрілкою через , то
Це прямий наслідок теореми про середнє геометричне.
Двоїстість[ред. | ред. код]
Двоїстим многокутником[en] для прямокутного дельтоїда є рівнобічна трапеція[1].
Альтернативне визначення[ред. | ред. код]
Іноді прямокутний дельтоїд визначають як дельтоїд зі щонайменше одним прямим кутом[4]. Якщо є лише один прямий кут, він має бути між двома сторонами рівної довжини. І тут не діють формули, наведені вище.
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ а б de Villiers, 2009, с. 154, 206.
- ↑ de Villiers, 1994, с. 11–18.
- ↑ Josefsson, 2012, с. 237–24.
- ↑ 1728 Software Systems, Kite Calculator, accessed 8 October 2012. Архів оригіналу за 6 вересня 2021. Процитовано 29 березня 2019.
Література[ред. | ред. код]
- Michael de Villiers. Some Adventures in Euclidean Geometry. — Key Curriculum Press, 2009. — ISBN 978-0-557-10295-2.
- Michael de Villiers. The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals // For the Learning of Mathematics. — 1994. — Т. 14, вип. 1.
- Martin Josefsson. Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12. — С. 237–241.
|