Середнє за Чезаро

В математиці середні за Чезаро послідовності $\{a_{n}\}$ — це середні арифметичні перших $n$ членів $\{a_{n}\}$:

$c_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

Поняття назване на честь італійського математика Ернесто Чезаро.

Основний результат теорії чезарових середніх (див. теорема Штольца) стверджує, що якщо існує границя послідовності $a_{n}$, то також існує границя послідовності $c_{n}$, і вони рівні:

$\exists \lim _{n\to \infty }a_{n}=A\Rightarrow \exists \lim _{n\to \infty }c_{n}=A$.

Тим самим, операція взяття чезарового середнього має властивість регулярності — зберігає властивість збіжності послідовності та її границю. В той же час, існує багато прикладів, коли вихідна послідовність не має границі, а її чезарові середні збігаються. (Наприклад, послідовність $a_{n}=(-1)^{n}$.) Це дозволяє використовувати чезарові середні як один з методів підсумовування розбіжних рядів.

Посилання

• Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.(рос.)