Теорема Райкова
Теорема Райкова — твердження в теорії ймовірностей. Добре відомо, що якщо випадкові величини та незалежні та розподілені по закону Пуассона, то їх сума також розподілена по закону Пуассона. Виявляється, що має місце і зворотнє твердження[1][2][3].
Нехай випадкова величина має розподіл Пуассона та може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин . Тоді розподіли випадкових величин та є зсувами розподілів Пуассона.
Теорема Райкова аналогічна теоремі Крамера, в якій стверджується, що якщо сума двох незалежних випадкових величин має нормальний розподіл, то кожна з цих випадкових величин також має нормальний розподіл. Ю.В. Линник довів, що згортка нормального розподілу та розподілу Пуассона також має аналогічну властивість (теорема Линника).
Нехай — локально компактна абелева група. Позначимо через півгрупу за згорткою ймовірнісних розподілів на , а через — вироджений розподіл, зосереджений в точці . Нехай , .
Розподілом Пуассона, породженим мірою , називається зсув розподілу виду
Має місце наступне твердження.
Нехай — розподіл Пуассона, породжений мірою . Нехай де . Якщо — або елемент нескінченого порядку, або порядку 2, то також є розподілом Пуассона. Якщо ж — елемент скінченного порядку , , то може бути не розподілом Пуассона.
- ↑ Райков Д. А. (1937). О разложении закона Пуассона. ДАН СССР. 14: 9—12.
- ↑ [1] [Архівовано 19 лютого 2019 у Wayback Machine.]Рухин А. Л. (1970). Некоторые статистические и вероятностные задачи на группах. Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 11: 52—109.
- ↑ Линник Ю. В., Островский И. В. (1972). Разложения случайных величин и векторов. Москва: Наука.