Теорема Шарковського

Теоре́ма Шарко́вського — теорема з теорії динамічних систем, доведена в 1964 році Олександром Миколайовичем Шарковським. Теорема була першим загальним результатом теорії динамічних систем, при ітеруванні відображень відрізка в себе.

Формулювання теореми

Розглянемо порядок на множині натуральних чисел, який часто називають порядком Шарковського:

$3$ ▶ $5$ ▶ $7$ ▶ $9$ ▶ $...$ ▶ $(2n-1)$ ▶ $...$ ▶

▶ $2$·$3$ ▶ $2$·$5$ ▶ $2$·$7$ ▶ $...$ $2$·$(2n-1)$ ▶ $...$ ▶

▶ $2^{2}$·$3$ ▶ $2^{2}$·$5$ ▶ $2^{2}$·$7$ ▶ $...$ $2^{2}$·$(2n-1)$ ▶ $...$ ▶

$...$

▶ $2^{k}$·$3$ ▶ $2^{k}$·$5$ ▶ $2^{k}$·$7$ ▶ $...$ $2^{k}$·$(2n-1)$ ▶ $...$

$...$

$...$ ▶ $2^{n}$ ▶ $2^{n-1}$ ▶ $2^{n-2}$ ▶ $...$ ▶ $2^{1}$ ▶ $1$

Нехай у неперервної функції $f:[0,1]$ → $[0,1]$ є цикл періоду $k$ (тобто існує $x$ такий, що $f^{k}(x)=x$, але $f^{i}(x)$ ≠ $x,i<k$, де $f^{k}$ — композиція $k$ функції $f$), тоді у цієї функції є цикли усіх періодів, які менші ніж $k$ в сенсі порядку Шарковського. Тобто наявність у такого відображення циклу періоду 3 гарантує існування циклу будь-якого іншого періоду. А існування циклу періоду 4 може гарантувати лише існування циклу періоду 2.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Олександра Шарковського

Посилання

• Теорема Шарковського на MathWorld [Архівовано 1 грудня 2008 у Wayback Machine.]
• Теорема Шарковського на PlanetMath

Література

1. Шарковский А. Н.  Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя [Архівовано 6 грудня 2017 у Wayback Machine.] //Укр. мат. журн. 1964. Т.16, № 1. — стор. 61—71. (рос.)
2. Li T.-Y., Yorke J.A. Period three implies chaos [Архівовано 7 серпня 2016 у Wayback Machine.] //Amer. Math. Monthly. 1975. Vol.82. No 10. — стор. 985—992. (англ.)
3. Шарковский А. Н., О циклах и структуре непрерывного отображения [Архівовано 21 липня 2017 у Wayback Machine.] //Укр. матем. журнал 1965. Т.17. стор. 101—111 (рос.)
4. Misiurewicz M., Remarks on Sharkovsky's Theorem [Архівовано 6 травня 2021 у Wayback Machine.] //Amer. Math. Monthly. 1997. vol. 104. No. 9 (англ.)
5. А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Спивак, В. В. Федоренко. «Динамика одномерных отображений». Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
6. Ю. А. Данилов. «Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение.» Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.