Ідеальна точка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Три ідеальних трикутники в конформно-евклідовій моделі, вершини є ідеальними точками

Невласна точка, ідеальна точка, омега-точка або нескінченно віддалена точка[1] — це цілком визначена[en] точка поза гіперболічною площиною або простором. Якщо дано пряму l і точку P поза l, то прямі, що проходять через P, праворуч і ліворуч паралельні в границі до прямої l, збігаються до l в ідеальних точках.

На відміну від проєктивного випадку, ідеальні точки утворюють межу, а не підмноговид. Таким чином, ці прямі не перетинаються в ідеальній точці, і такі точки, хоча вони й цілком визначені, не належать самому гіперболічному простору.

Ідеальні точки разом утворюють абсолют Келі[en] або межу гіперболічної геометрії. Наприклад, одиничне коло утворює абсолют Келі дискової моделі Пуанкаре і дискової моделі Кляйна. Разом з тим, дійсна пряма утворює абсолют моделі півплощини[2].

Аксіома Паша і теорема про зовнішній кут трикутника виконуються для омега-трикутника, який визначається двома точками гіперболічного простору і омега-точкою[3].

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Гіперболічна відстань між ідеальними точками і будь-якою іншою точкою або іншою точкою дорівнює нескінченності.
  • Центри орициклів і орисфер є ідеальними точками. Два орицикли концентричні, коли вони мають один і той самий центр.

Многокутники з ідеальними вершинами

[ред. | ред. код]

Ідеальні трикутники

[ред. | ред. код]

Якщо всі вершини трикутника є ідеальними точками, трикутник є ідеальним трикутником.

Ідеальні трикутники мають кілька цікавих властивостей:

  • Всі ідеальні трикутники конгруентні.
  • Внутрішні кути ідеального трикутника всі дорівнюють нулю.
  • Будь-який ідеальний трикутник має нескінченний периметр.
  • Будь-який ідеальний трикутник має площу , де дорівнює (від'ємній) кривині площини[4].

Ідеальні чотирикутники

[ред. | ред. код]

Якщо всі вершини чотирикутника — ідеальні точки, то чотирикутник є ідеальним чотирикутником.

Тоді як усі ідеальні трикутники конгруентні, не всі ідеальні чотирикутники конгруентні, діагоналі можуть перетинатися під різними кутами, що призводить до неконгруентності чотирикутників, при цьому:

  • Внутрішні кути ідеального чотирикутника всі дорівнюють нулю.
  • Будь-який ідеальний чотирикутник має нескінченний периметр.
  • Будь-який ідеальний (опуклий без перетинів) чотирикутник має площу , де K дорівнює (від'ємній) кривині площини.

Ідеальний квадрат

[ред. | ред. код]

Ідеальний чотирикутник, у якого дві діагоналі перпендикулярні, утворює ідеальний квадрат.

Ідеальний квадрат використовував Фердинанд Карл Швайкарт[ru] у його меморандумі, в якому він згадує «астральну геометрію». Це була одна з перших публікацій, що допускають можливість гіперболічної геометрії[5].

Ідеальні n-кутники

[ред. | ред. код]

n-кутник можна розділити на (n − 2) ідеальних трикутників, і площа многокутника дорівнює площі ідеального трикутника, помноженій на (n − 2).

Подання в моделях гіперболічної геометрії

[ред. | ред. код]

У дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре гіперболічної площини ідеальними точками є одиничні кола (для гіперболічної площини) або одиничні сфери (для просторів вищої розмірності), які є недосяжною межею гіперболічного простору.

Одна і та ж гіперболічна пряма в дисковій моделі Кляйна і дисковій моделі Пуанкаре буде проходити через ті ж дві ідеальні точки.

Дискова модель Клейна

[ред. | ред. код]

Якщо дано дві різні точки і у відкритому одиничному диску, єдина пряма, що з'єднує їх, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, і (вважається, що точки йдуть в порядку , , , ), так що і . Тоді гіперболічна відстань між і виражається формулою

Дискова модель Пуанкаре

[ред. | ред. код]

Якщо задано дві різні точки і у відкритому одиничному диску, то єдина дуга кола, яка ортогональна межі і з'єднує точки, перетинає одиничне коло в двох ідеальних точках, і (вважається, що точки йдуть у порядку , , , ), так що і . Тоді гіперболічна відстань між і виражається формулою

Тут відстань вимірюється вздовж (прямих) відрізків , , , .

Модель півплощини Пуанкаре

[ред. | ред. код]

У моделі півплощини ідеальні точки — це точки на граничній осі. Існує також інша ідеальна точка, яка не належить моделі півплощини (але промені, паралельні до додатної півосі , наближаються до неї).

Гіперболоїдна модель

[ред. | ред. код]

У гіперболоїдній моделі немає ніяких невласних точок.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Комацу, 1981, с. 103-104.
  2. Struve, Struve, 2010, с. 151–170.
  3. Hvidsten, 2005, с. 276–283.
  4. Thurston, 2012.
  5. Bonola, 1955, с. 75–77.

Література

[ред. | ред. код]