Ін'єктивна оболонка
Зовнішній вигляд
Ін'єктивна оболонка — побудова в метричній геометрії, яка дає найменший ін'єктивний метричний простір, що включає даний метричний простір. Ця побудова багато в чому аналогічна побудові опуклої оболонки множини в евклідовому просторі.
Ін'єктивну оболонку вперше описав Джон Ізбел[en] 1964 року[1]. Пізніше її кілька разів перевідкрито[2][3].
На даному метричному просторі розглядають усі функції такі, що
- для будь-яких ,
- для будь-якого існує таке, що довільно мале.
Далі множину цих функцій забезпечують метрикою
Отриманий метричний простір називають ін'єктивною оболонкою .
- Простір можна розглядати як підпростір ; необхідне відображення отримують зіставленням кожній точці її дистанційної функції .
- Ін'єктивна оболонка є ін'єктивним простором.
- Ін'єктивна оболонка компактного простору компактна.
- Зокрема, будь-який компактний простір є підпростором компактного простору зі внутрішньою метрикою.
- Нехай і — Ін'єктивні оболонки компактних метричних просторів і . Тоді
- де позначає метрику Громова — Гаусдорфа.
- Стала 2 в цій нерівності є оптимальною[4].
- ↑ Isbell, J. R. Six theorems about injective metric spaces // Commentarii Mathematici Helvetici[en] : journal. — 1964. — Vol. 39 (26 January). — P. 65—76. — DOI: .
- ↑ Dress, Andreas W. M. (1984), Trees, tight extensions of metric spaces, and the cohomological dimension of certain groups, Advances in Mathematics, 53 (3): 321—402, doi:10.1016/0001-8708(84)90029-X
- ↑ Chrobak, Marek; Larmore, Lawrence L. (1994), Generosity helps or an 11-competitive algorithm for three servers, Journal of Algorithms, 16 (2): 234—263, doi:10.1006/jagm.1994.1011.
- ↑ Lang, Urs; Pavón, Maël; Züst, Roger. Metric stability of trees and tight spans // Arch. Math. (Basel). — 2013. — Vol. 101, no. 1 (26 January). — P. 91–100.