Індуковане розшарування

Індуковане розшарування — розшарування $\pi ':f^{*}(E)\to B'$, індуковане відображенням $f\colon B'\to B$ і розшаруванням $\pi \colon E\to B$, де $f^{*}(E)$ — підпростір прямого добутку $B'\times E$, що складається з пар $(b',e)$, виду:

$\{(b',e)\in B'\times E\mid f(b')=\pi (e)\}\subset B'\times E$,

для яких $f(b')=\pi (e)$, а проєкція за означенням задана як $\pi '\colon (b',e)\mapsto b'$.

Шаром f^*E над точкою b′ простору B′ є шар у E над f(b′). Тобто як множина f^*E є диз'юнктним об'єднанням всіх цих шарів.

Відображення ${\tilde {f}}\colon f^{*}(E)\to E$ індукованого розшарування в вихідне розшарування, задане формулою ${\tilde {f}}(b',e)=e$ є морфізмом розшарувань, що накриває $f$. При цьому комутативна діаграма утворює декартовий квадрат:

Властивості

• Для кожної точки $b'\in B'$ обмеження на шар є гомеоморфізмом.
• Для будь-якого розшарування $\eta \colon X\to B'$ і морфізму розшарувань $h:X\to E$, що накриває $f$, існує один і тільки один $B'$-морфізм $k:X\to f^{*}(E)$, що задовольняє співвідношенню ${\tilde {f}}k=h$.
• Розшарування, індуковані ізоморфними розшаруваннями, є ізоморфними. Розшарування, індуковане постійним відображенням є ізоморфним тривіальному розшаруванню.
• Для будь-якого перетину $s$ розшарування $\pi$ відображення $\sigma \colon B'\to f^{*}(E)$, задане формулою $\sigma (b')=(b',sf(b'))$, є перетином індукованого розшарування $f^{*}(\pi )$ і задовольняє співвідношенню ${\tilde {f}}\sigma =sf$.
• Якщо (U, φ) є локальною тривіалізацією розшарування E, тоді (f⁻¹U, ψ) є локальною тривіалізацією f^*E де

$\psi (b',e)=(b',{\mbox{proj}}_{2}(\varphi (e))).\,$

Тобто у цьому випадку f^*E теж є локально тривіальним розшаруванням над B′ з шаром F.

• Якщо локально тривіальне розшарування E → B також має структурну групу G з функціями перетворення t_ij (для локальних тривіалізацій {(U_i, φ_i)}, тоді G також буде структурною групою індукованого розшарування f^*E. Функції перетворення розшарування f^*E рівні

$f^{*}t_{ij}=t_{ij}\circ f.$

• Якщо E → B є векторним чи головним розшаруванням, то таким же розшаруванням є f^*E. У випадку головних розшарувань права дія групи G на f^*E визначається як

$(x,e)\cdot g=(x,e\cdot g)$

Звідси випливає, що ${\tilde {f}}$ є еквіваріантним відображенням і тому задає морфізм головних розшарувань.

Література

• Steenrod, N. (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.
• Husemoller, D. (1994). Fibre Bundles. Graduate Texts in Mathematics. Т. 20 (вид. Third). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94087-8.