Інтегра́льна формула Пуассо́на
Нехай для гармонічної в кулі функції u(r, φ) поставлена умова рівності на границі функції u0: u(R, φ) = u0(φ), при цьому функції належать наступним класам гладкості:
, де ∂D — границя кулі D, а
— його замикання. Тоді розв'язок такої задачі Діріхле можна представити через інтеграл Пуассона:
![{\displaystyle u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{\omega _{n}R}}\int \limits _{\partial D}{\frac {u_{0}(\psi )}{|r-\psi |^{n}}}\,dS(\psi ),\ r\in [0;R),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5267a76cbedb26cf9ea8aaab60e3b30aa36e74bb)
где ωn — площа одиничної сфери, а n — розмірність простору.
Нехай функція f(z) є голоморфною у деякій області, що містить замкнутий круг радіуса R з центром у початку координат. Нехай K позначає відовідне коло. Для довільної точки
, що лежить всередині круга, згідно формули Коші:
, (1)
Нехай
одержується із
за допомогою інверсії відносно кола K тобто
. Оскільки точка
не належить K то функція
буде аналітичною всередині і на границі кола К, а тому за теоремою Коші маємо:
, (2)
Віднімаємо від (1) рівність (2):
. (3')
Після зведення до спільного знаменника, скорочення і поділу чисельника і знаменника на
![{\displaystyle {\frac {Re^{i\psi }}{Re^{i\psi }-re^{i\varphi }}}-{\frac {re^{i\psi }}{re^{i\psi }-Re^{i\varphi }}}={\frac {(r^{2}-R^{2})e^{i(\psi +\varphi )}}{(-R^{2}-r^{2})e^{i(\psi +\varphi )}+Rr(e^{2i\psi }+e^{2i\varphi })}}={\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}+r^{2}-Rr(e^{i(\psi -\varphi )}+e^{i(\varphi -\psi )})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60c6f6870078e0b011a92daea6ad6b5fa8a617c)
Враховуючи тригонометричну тотожність
остаточно (3') можна записати як
![{\displaystyle f(z)=u+vi={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(Re^{i\psi }){\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )+r^{2}}}d\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254d1caf895fa163903c5e2d7fbd52d59376ed83)
Порівнюючи дійсні значення у лівій і правій частині рівності, отримаємо формулу:
, (3)
яка носить назву інтегральної формула Пуассона. Оскільки кожна гармонічна функція U може бути розглянута як дійсна частина аналітичної функції, то за допомогою цієї формули виражається значення будь-якої гармонійної функції усередині кола через її граничні значення.
Зауважимо ще, що ми отримаємо з формули (3) часткові похідні функції U відносно r і
(або х і у) для внутрішньої точки кола, якщо продиференціюємо вираз, що стоїть під знаком інтеграла.
Формула (3) Пуассона найпростіший вигляд має при r=0:
![{\displaystyle U(0)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }U(R,\psi )d\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3460140651b497a64bd4170cfbc2d3abd57e999)
тобто значення гармонічної функції у центрі кола дорівнює середньому арифметичному її значень на
межі цього кола.
- И.И. Привалов. Введение в теорию функций комплексной переменной. - Москва "Наука", 1984