Інтерполяційні формули — формули в математиці, що дають наближене вираження функції за допомогою інтерполяції многочленами.
Інтерполяційний многочлен ступеня , значення якого в заданих точках збігаються зі значеннями функції в цих точках, визначається єдиним чином, але в залежності від завдання його зручно записувати різними формулами.
Якщо точки розташовані на рівних відстанях , поліном можна записати:
(тут , а — різниці k-го порядку: ).
Це формула Ньютона для інтерполяції вперед; назва формули вказує на те, що вона містить задані значення , що відповідають вузлам інтерполяції, що знаходяться тільки праворуч від . Ця формула зручна при інтерполяції функцій для значень , близьких до .
При інтерполяції функцій для значень , близьких до , формулу Ньютона доцільно перетворити, змінивши початок відліку (див. Нижче формули Стірлінга і Бесселя).
Формулу Ньютона можна записати і для нерівновіддаленими вузлів, вдаючись для цієї мети до розділених різниць. На відміну від формули Лагранжа, де кожен член залежить від всіх вузлів інтерполяції, будь-який -й член формули Ньютона залежить від перших (від початку відліку) вузлів і додавання нових вузлів викликає лише додавання нових членів формули (в цьому перевага формули Ньютона).
Коротка форма інтерполяційної формули Ньютона для випадку рівновіддалених вузлів:
(про значення символу зв'язку центральних різниць з різницями див. Кінцевих різниць числення)
Застосовується при інтерполяції функцій для значень , близьких до одного з середніх вузлів ; в цьому випадку природно взяти непарне число вузлів , вважаючи центральним вузлом .
Застосовується при інтерполяції функцій для значень , близьких середин між двома вузлами; тут природно брати парне число вузлів , і розташовувати їх симетрично щодо