Перейти до вмісту

Інтерполяційні формули

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Інтерполяційний многочлен)

Інтерполяційні формули — формули в математиці, що дають наближене вираження функції за допомогою інтерполяції многочленами.

Інтерполяційний многочлен ступеня , значення якого в заданих точках збігаються зі значеннями функції в цих точках, визначається єдиним чином, але в залежності від завдання його зручно записувати різними формулами.

Формула Лагранжа

[ред. | ред. код]

Функція може бути інтерпольована на відрізку інтерполяційним поліномом , записаним у формі Лагранжа:

Похибка інтерполяції:

У просторі дійсних неперервних функцій відповідні норми набирають вигляду:

Формула Ньютона

[ред. | ред. код]
Докладніше: Многочлен Ньютона

Якщо точки розташовані на рівних відстанях , поліном можна записати:

(тут , а  — різниці k-го порядку: ).

Це формула Ньютона для інтерполяції вперед; назва формули вказує на те, що вона містить задані значення , що відповідають вузлам інтерполяції, що знаходяться тільки праворуч від . Ця формула зручна при інтерполяції функцій для значень , близьких до .

При інтерполяції функцій для значень , близьких до , формулу Ньютона доцільно перетворити, змінивши початок відліку (див. Нижче формули Стірлінга і Бесселя).

Формулу Ньютона можна записати і для нерівновіддаленими вузлів, вдаючись для цієї мети до розділених різниць. На відміну від формули Лагранжа, де кожен член залежить від всіх вузлів інтерполяції, будь-який -й член формули Ньютона залежить від перших (від початку відліку) вузлів і додавання нових вузлів викликає лише додавання нових членів формули (в цьому перевага формули Ньютона).

Коротка форма інтерполяційної формули Ньютона для випадку рівновіддалених вузлів:

де  — узагальнені на область дійсних чисел біноміальні коефіцієнти.

Інтерполяційна формула Стірлінга

[ред. | ред. код]

(про значення символу зв'язку центральних різниць з різницями див. Кінцевих різниць числення)

Застосовується при інтерполяції функцій для значень , близьких до одного з середніх вузлів ; в цьому випадку природно взяти непарне число вузлів , вважаючи центральним вузлом .

Інтерполяційна формула Бесселя

[ред. | ред. код]

Застосовується при інтерполяції функцій для значень , близьких середин між двома вузлами; тут природно брати парне число вузлів , і розташовувати їх симетрично щодо

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;