Інтерполяційні формули — формули в математиці, що дають наближене вираження функції за допомогою інтерполяції.
Інтерполяційний поліном
ступеня
, значення якого в заданих точках
збігаються зі значеннями
функції в цих точках, визначається єдиним чином, але в залежності від завдання його зручно записувати різними формулами.
Функція
може бути інтерпольована на відрізку
інтерполяційним поліномом
, записаним у формі Лагранжа:
![{\displaystyle f(x)\approx P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3e847f066d9339920880e048491ea8f7e8c6e7)
Похибка інтерполяції:
![{\displaystyle |f(x)-P_{n}(x)|\leq {\frac {\|f^{(n+1)}(x)\|}{(n+1)!}}\cdot \|\Pi _{n}(x)\|,\qquad \Pi _{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4436864f1fb21d3a0d600eff5f603ba737a6506d)
У просторі дійсних неперервних функцій відповідні норми набирають вигляду:
![{\displaystyle \|f^{(n+1)}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|,\qquad \|\Pi _{n}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|\Pi _{n}(x)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64e50a5a72634410b93b6b809c8dfd8cbb9c346)
Якщо точки
розташовані на рівних відстанях
, поліном можна записати:
![{\displaystyle P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+{\frac {t}{1!}}\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38bad728626256c0ee1a986b02aa109deb8857a9)
(тут
, а
— різниці k-го порядку:
).
Це формула Ньютона для інтерполяції вперед; назва формули вказує на те, що вона містить задані значення
, що відповідають вузлам інтерполяції, що знаходяться тільки праворуч від
. Ця формула зручна при інтерполяції функцій для значень
, близьких до
.
При інтерполяції функцій для значень
, близьких до
, формулу Ньютона доцільно перетворити, змінивши початок відліку (див. Нижче формули Стірлінга і Бесселя).
Формулу Ньютона можна записати і для нерівновіддаленими вузлів, вдаючись для цієї мети до розділених різниць. На відміну від формули Лагранжа, де кожен член залежить від всіх вузлів інтерполяції, будь-який
-й член формули Ньютона залежить від перших (від початку відліку) вузлів і додавання нових вузлів викликає лише додавання нових членів формули (в цьому перевага формули Ньютона).
Коротка форма інтерполяційної формули Ньютона для випадку рівновіддалених вузлів:
![{\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,C_{m}^{k}\,f_{m-k}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d634b4d421aa84ca85082bc718f0598ab5209076)
де
— узагальнені на область дійсних чисел біноміальні коефіцієнти.
![{\displaystyle f(x_{0}+th)=y_{0}+{\frac {t}{1!}}\mu \delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2!}}\delta ^{2}y_{0}+{\frac {t(t^{2}-1^{2})}{3!}}\mu \delta ^{3}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1^{2})}{4!}}\delta ^{4}y_{0}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d03b68fe04d11340cd423732a787b48609271ff)
![{\displaystyle +{\frac {t(t^{2}-1^{2})(t^{2}-2^{2})}{5!}}\mu \delta ^{5}y_{0}+\cdots +{\frac {t^{2}(t^{2}-1^{2})(t^{2}-2^{2})\cdots [t^{2}-(k-1)^{2}]}{(2k)!}}\delta ^{2k}y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f574fb5e9ae2eb0790beeaed5f82a9bc02aa5094)
(про значення символу
зв'язку центральних різниць
з різницями
див. Кінцевих різниць числення)
Застосовується при інтерполяції функцій для значень
, близьких до одного з середніх вузлів
; в цьому випадку природно взяти непарне число вузлів
, вважаючи
центральним вузлом
.
![{\displaystyle f(x_{0}+th)\approx \mu y_{1/2}+{\frac {(t-1/2)}{1!}}\delta y_{1/2}+{\frac {t(t-1)}{2!}}\mu \delta ^{2}y_{1/2}+{\frac {t(t-1)(t-1/2)}{3!}}\delta ^{3}y_{1/2}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f166aec82c5c3373e9a5ae4e27803528e449537)
![{\displaystyle +{\frac {t(t-1)(t+1)(t-2)}{4!}}\mu \delta ^{4}y_{1/2}+{\frac {t(t-1)(t+1)(t-2)(t-1/2)}{5!}}\delta ^{5}y_{1/2}+\cdots +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b53b8678b03cdeac43ff9877b0438669dadecc)
![{\displaystyle +{\frac {t(t-1)(t+1)\cdots (t-k)(t+k-1)(t-1/2)}{(2k+1)!}}\delta ^{2k+1}y_{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93df8586da1bb2aea44d9bed3394719f412d5875)
Застосовується при інтерполяції функцій для значень
, близьких середин
між двома вузлами; тут природно брати парне число вузлів
, і розташовувати їх симетрично щодо
- Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;