Інтерференція хвиль

Картина інтерференції двох кругових когерентних хвиль, у залежності від довжини хвилі та відстані між джерелами

Інтерфере́нція хвиль (від лат. inter — взаємно, між собою; лат. ferio — вдаряю, вражаю) — явище накладання двох або більше когерентних хвиль, в результаті чого в одних місцях спостерігається підсилення кінцевої хвилі (інтерференційний максимум), а в інших місцях послаблення (інтерференційний мінімум).

Загальний опис

Анімація: інтерференція двох хвиль від двох точкових джерел. Максимуми показано блакитним, провали — червоним/жовтим.

Інтерференція спостерігається у когерентних хвиль довільної природи — поверхневих (на воді), поперечних та поздовжніх звукових, електромагнітних (світло, радіохвилі), хвиль де Бройля.

При інтерференції результативне коливання є геометричною сумою коливань обох хвиль у відповідних точках. Цей принцип суперпозиції як правило є точним і порушується у окремих випадках, в деяких середовищах, коли амплітуда коливань є дуже високою (нелінійна оптика, нелінійна акустика).

Найпростішим випадком інтерференції є накладання двох гармонічних хвиль з однаковою частотою і поляризацією. В такому випадку результативна амплітуда А вираховується за формулою:

$A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos \alpha }}$,

де $A_{1}$ та $A_{2}$ — амплітуди відповідних хвиль, $\alpha$ — різниця фаз цих хвиль.

Використання

Явище інтерференції використовується, наприклад, в радіотехніці і акустиці для створення складних антен. Особливо велике значення інтерференція має в оптиці, вона лежить в основі оптичної та акустичної голографії.

Модель інтерференції немонохроматичних хвиль Захар'євського

Модель одновимірної хвилі

В загальному випадку одновимірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x, можна подати в такому вигляді:

$y(x,t)=A\cdot \sin {\frac {2\pi }{T_{x}}}\left(t-{\frac {x}{v_{x}}}\right)$,

де $t$ — змінна часу, $A$ — амплітуда коливання, $T_{x}$ — період коливань, $v_{x}$ — швидкість розповсюдження коливань вздовж осі x. Хвиля може також характеризуватися кутовою частотою:

$\omega _{x}={\frac {2\pi }{T_{x}}}={\frac {2\pi v_{x}}{\lambda _{x}}}$,

де $\lambda _{x}$ -довжина хвилі. Можна також ввести хвильовий вектор (число) у вигляді:

$k_{x}={\frac {2\pi }{\lambda _{x}}}={\frac {\omega _{x}}{v_{x}}}$.

Таким чином одномірну хвилю, що розповсюджується вздовж осі x можна також подати у вигляді:

$y(x,t)=A\cdot \sin \phi (x,t)=A\cdot \sin(\omega _{x}t-k_{x}x)$,

де $\phi (x,t)=\omega _{x}t-k_{x}x$ — фаза хвилі.

Модель інтерференції монохроматичної хвилі

Розглянемо монохроматичну хвилю з кутовою частотою $\omega$, ширина якої рівна нулю

$\Delta (\omega )=0$.

В рамках моделі інтерференції Захар'євського розглядаються дві хвилі, що розповсюджуються по двох шляхах інтерферометра:

$y_{1}=A_{1}\sin \phi _{1}=A_{1}\sin(\omega _{x}-k_{x}x_{1})$

$y_{2}=A_{2}\sin \phi _{1}=A_{2}\sin(\omega _{x}-k_{x}x_{2})$

Сумарну хвилю можна подати у вигляді:

$y=y_{1}+y_{2}=A_{1}\sin \phi _{1}+A_{2}\sin \phi _{2}=(A_{1}+A_{2}\cos \psi )\sin \phi _{1}-A_{2}\sin \psi \cos \phi _{1}$,

де різниця фаз двох коливань буде:

$\psi =\phi _{1}-\phi _{2}=k_{x}(x_{2}-x_{1})={\frac {2\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}$,

де $\Delta _{x}=x_{2}-x_{1}$ — різниця ходу двох хвиль. Для подальшого розгляду доцільно ввести нові змінні у вигляді:

$A_{1}+A_{2}\cos \psi =A\cos \theta$

$A_{2}\sin \psi =A\sin \theta$.

Тоді квадрат амплітуди сумарного коливання буде:

$A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos \psi$.

Кути $\theta$ та $\psi$ пов'язані між собою таким чином:

$tg\theta ={\frac {A_{2}\sin \psi }{A_{1}+A_{2}\cos \psi }}$/

В результаті маємо наступне рівняння для інтерференційних коливань монохроматичної хвилі:

$y(x_{1},t)=A\cos \theta \sin \phi _{1}-A\sin \theta \cos \phi _{1}=A\sin(\phi _{1}-\theta )=A\sin(\omega t-k_{x}x_{1}-\theta )$

Оскільки енергія коливань залежить від квадрата амплітуди, тому для нас важливо з’ясувати можливі значення для різниці фаз та різниці ходу. Ми будемо мати два різні випадки.

В першому випадку ми маємо такі значення:

$\psi ={\frac {2\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}=0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\dots ,\pm N_{x}2\pi$

$\Delta _{x}=0,\pm \lambda _{x},\pm 2\lambda _{x},\dots ,\pm N_{x}\lambda _{x}$

де $N_{x}$ — ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрата модуля амплітуди тут буде:

$(A^{2})_{max}=(A_{1}+A_{2})^{2}$.

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрата амплітуди

$(A^{2})_{min}=(A_{1}-A_{2})^{2}$

ми будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

$\psi ={\frac {2\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}=0,\pm \pi ,\pm 3\pi ,\dots ,\pm (2N_{x}+1)\pi$

$\Delta _{x}=0,\pm \lambda _{x}/2,\pm 2\lambda _{x}/2,\dots ,\pm (N_{x}+1)\lambda _{x}/2$.

Часто буває, що амплітуди коливань є однакові $A_{1}=A_{2}$. Тоді сумарна амплітуда буде:

$A^{2}=2A_{1}^{2}(1+\cos \theta )=4A_{1}^{2}\cos ^{2}\theta /2=4A_{1}^{2}\cos ^{2}\left({\frac {\pi \Delta _{x}}{\lambda _{x}}}\right)$

її максимальне значення $(A^{2})_{max}=4A_{1}^{2}$, а мінімальне — $(A^{2})_{min}=0$. Це найбільш бажаний результат, оскільки тут вся енергія коливань бере участь у створенні інтерференційної картини (найбільш різка контрастність).

Геометрична модель

Геометрична модель інтерференції базується на стандартній схемі, яка включає в себе два дзеркала Френеля, розміщені під невеликим кутом один до одного.

Інтервал між сусідніми світлими або темними смугами називається шириною смуги і позначається символом $\sigma$. Якщо $n_{x}$-а смуга знаходиться від центру поля на відстані $y_{1}$, то для неї різниця ходу рівна

$\Delta _{x1}=n_{x}\lambda _{x}={\frac {ay_{1}}{L}}$,

де $a$- відстань між двома когерентними джерелами світла, а $L$- база інтерферометра (відстань між джерелами світла та площиною інтерференційного поля).

Для сусідньої $n_{x}+1$ -ї смуги, яка знаходиться від центру поля на відстані $y_{2}$, маємо

$\Delta _{x2}=(n_{x}+1)\lambda _{x}={\frac {ay_{2}}{L}}$.

Очевидно, що різниця $y_{2}-y_{1}$ рівна ширині смуги, звідки знаходимо

$\sigma _{x}=y_{2}-y_{1}={\frac {L\lambda _{x}}{a}}$.

Таким чином, ширина смуги інтерференції хвиль з нульовою шириною лінії ($\Delta \omega =0$), залежить від довжини хвиль,що (с-)падають.

Модель двох близьких частот

В природі не зустрічаються хвилі, які характеризуються однією частотою, без розширення частотного спектру (т.з. ширина лінії спектру хвилі). навіть у випадку лазерного променя ми маємо скінченне значення ширини лінії. В загальному випадку цей частотний спектр можна розглянути за допомогою двох близьких частот:

$\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\ll \omega _{1}\neq \omega _{2}$.

Розглянемо дві близькі хвилі у вигляді:

$z_{1}(x,t)=A_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})$

$z_{2}(x,t)=A_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2})$.

У випадку рівності амплітуд $A_{1}=A_{2}$ та фаз $\phi _{1}=\phi _{2}$ сумарне значення двох хвиль буде:

$z_{tot}=z_{1}+z_{2}=A(\sin \omega _{1}t+\sin \omega _{2}t)=2A\cos \left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t\right)\cdot \sin \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right)$

Середнє значення часто ми можемо розглядати як несучу частоту:

$\omega =\omega _{av}=(\omega _{1}+\omega _{2})/2$,

а різницю частот

$\Omega =\omega _{mod}=(\omega _{1}-\omega _{2})/2$

як модуляційну частоту. Тут ми можемо також ввести поняття амплітуда модуляції

$A_{mod}(t)=2A\cos \Omega t$.

Таким чином, сумарне значення модульованої хвилі буде

$z_{tot}(t)=A_{mod}\sin \omega t$.

Модель інтерференції зі скінченною шириною частотного спектру

Розглянемо випадок інтерференції двох модуляційних хвиль, які можна подати у вигляді:

$z(x,y,t)=2A\cos[\Omega (t+y/v)]\cdot \sin[\omega (t-x/v)]$.

Тут враховано той факт, що несучі хвилі розповсюджуються вздовж осі $x$, а модуляційні — вздовж осі $y$. Кутові частоти тут будуть

$\omega _{x}={\frac {2\pi v}{\lambda _{x}}}$

$\Omega _{y}={\frac {2\pi v}{\Lambda _{y}}}$.

Хвильові вектори (числа) можна подати у вигляді:

$k_{x}={\frac {\omega _{x}}{v}}={\frac {2\pi }{\lambda _{x}}}$

$k_{y}={\frac {\Omega _{y}}{v}}={\frac {2\pi }{\Lambda _{y}}}$.

Оскільки $\omega _{x}\gg \Omega _{y}$, тому

$\Lambda _{y}={\frac {2\pi v}{\Omega _{y}}}\gg \lambda _{x}={\frac {2\pi v}{\omega _{x}}}$.

Таким чином, інтерференція двох модуляційних хвиль є типове двомірне явище в ($x,y$) — площині. Коефіцієнт модуляції двох хвиль визначається як:

$K_{M}={\frac {\omega _{x}}{\Omega _{y}}}={\frac {\Lambda _{y}}{\lambda _{x}}}\gg 1$.

У випадку інтерференції його можна розглядати, як коефіцієнт підсилення двомірної інтерференції:

$K_{2D}=K_{M}\gg 1$.

Дві модуляційні хвилі можна подати у вигляді:

$z_{1}(t)=2A\cos[\Omega _{y}(t+y_{1}/v)]\cdot \sin[\omega _{x}(t-L/v)]=A_{z1}\cos \phi _{z1}=A_{z1}\cos(\Omega t-k_{y}y_{1})$

$z_{2}(t)=2A\cos[\Omega _{y}(t+y_{2}/v)]\cdot \sin[\omega _{x}(t-L/v)]=A_{z2}\cos \phi _{z1}=A_{z2}\cos(\Omega t-k_{y}y_{2})$.

де

$A_{z}=A_{z1}=A_{z2}=2A\sin(\omega t-k_{x}x)$

$\psi _{z}=\phi _{z1}-\phi _{z2}=k_{y}(y_{2}-y_{1})={\frac {2\pi \Delta _{y}}{\Lambda _{y}}}$

а $\Delta _{y}=y_{2}-y_{1}$ - різниця ходу вздовж осі $y$. Сумарне значення інтерференційної хвилі тут буде:

$z_{tot}=z_{1}+z_{2}=A_{z1}\cos \phi _{1}+A_{z2}\cos(\phi _{z1}-\psi _{z})=(A_{z1}+A_{z2})\cos \phi _{1}+A_{z2}\sin \psi \sin \phi _{1}$

Ми знову можемо скористатися заміною змінних у вигляді:

$A_{z1}+A_{z2}\cos \psi =A_{zz}\cos \theta _{z}$

$A_{z2}\sin \psi _{z}=A_{zz}\sin \theta _{z}$

Це дає змогу переписати сумарну хвилю у вигляді:

$z_{tot}=A_{zz}\cos \theta _{z}\cos \phi _{z1}+A_{zz}\sin \theta _{z}\sin \phi _{z1}=A_{zz}\cos(\phi _{z1}-\theta _{z})=A_{zz}\cos(\Omega t-k_{y}y_{1}-\theta _{z})$

де квадрат нової амплітуди та нова залежність між кутами буде:

$A_{zz}^{2}=2A_{z}^{2}(1+\cos \psi _{z})$

$tg\theta _{z}={\frac {sin\psi _{z}}{1+\cos \psi _{z}}}$

Для інтерференції з модуляцією ми також будемо мати два випадки. В першому випадку ми маємо наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

$\psi _{z}={\frac {2\pi \Delta _{y}}{\Lambda _{y}}}=0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\dots ,\pm N_{y}2\pi$

$\Delta _{y}=0,\pm \Lambda _{y},\pm 2\Lambda _{y},\dots ,\pm N_{y}\Lambda _{y}$

де $N_{y}$ - ціле позитивне або негативне число (порядок інтерференції). Максимальне значення квадрата модуля амплітуди тут буде:

$(A_{zz}^{2})_{max}=(A_{z1}+A_{z2})^{2}$.

В другому випадку, коли ми маємо мінімальне значення квадрата амплітуди

$(A_{zz}^{2})_{min}=(A_{z1}-A_{z2})^{2}$,

тоді будемо мати наступні значення для різниці фаз та різниці ходу:

$\psi _{z}={\frac {2\pi \Delta _{y}}{\Lambda _{y}}}=0,\pm \pi ,\pm 3\pi ,\dots ,\pm (2N_{y}+1)\pi$

$\Delta _{y}=0,\pm \Lambda _{y}/2,\pm 2\Lambda _{y}/2,\dots ,\pm (N_{x}+1)\Lambda _{y}/2$.

Геометрична модель модуляційної інтерференції

Основною умовою спостереження інтерференції модульованих хвиль є виконання співвідношення для модульованої різниці ходу:

$\Delta _{y}={\frac {ay}{L}}=N_{y}\Lambda _{y}=N_{x}\lambda _{x}$,

а також співвідношення між ширинами смуг:

$N_{x}\sigma _{x}=N_{y}\Sigma _{y}$.

Іншими словами, необхідна синхронність коливань вздовж осі $x$ з частотою $\omega _{x}$ та модуляційних коливань вздовж осі $y$ з частотою $\Omega _{y}$. Таким чином, для коефіцієнту модуляції (або коефіцієнту підсилення ширини смуги) маємо:

$K_{M}={\frac {\Lambda _{y}}{\lambda _{x}}}={\frac {N_{x}}{N_{y}}}={\frac {\Sigma _{y}}{\sigma _{x}}}\gg 1$.

Оскільки ми можемо спостерігати «підсилені» ширини смуг $\Sigma _{y}$ (декілька штук), то для їх створення необхідно дуже багато «непідсилених» смуг $\sigma _{x}$, а це означає що $N_{x}\gg N_{y}$.

Безумовно, інтерференція немодульованих хвиль з частотою $\omega _{x}$ має пріоритет. Тому у випадку двох близьких частот $\omega _{x1}\neq \omega _{x2}$ різниця порядків інтерференції $N_{x1}$ та $N_{x2}$ повинна бути малим числом:

$N_{x1}-N_{x2}=N_{y1}-N_{y2}=n_{y}=0,1,2,\dots$

Тоді різниця ходу для двох близьких частот буде:

$\Delta _{x}=N_{x1}\lambda _{x1}=(N_{x1}-n_{y})\lambda _{x2}$

або

$N_{x1}={\frac {n_{y}\lambda _{x1}}{\lambda _{x2}-\lambda _{x1}}}=n_{y}n_{x12}$.

Цей вираз також може переписати у формі:

$N_{x1}=n_{y}{\frac {\omega _{x1}}{2\Omega _{y}}}=n_{y}K_{MI}$,

де $K_{MI}={\frac {\omega _{x1}}{2\Omega _{y}}}\gg 1$, а $\Omega _{y}={\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}={\frac {\pi v(\lambda _{2}-\lambda _{1})}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}$. Якщо як джерело світла взяти водневу лампу, для якої $\lambda _{2}=656.2$нм та $\lambda _{1}=486.1$нм, тоді

$n_{x12}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}=3.9$,

тобто не дуже велике число. Проте у випадку натрієвої лампи, де $\lambda _{2}=589.2$нм та $\lambda _{1}=589$нм, ми будемо мати велике число:

$n_{x12}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}=983$.

Іншими словами, у випадку двох близьких ліній, наприклад, для лазерних променів з конечним значенням ширини спектру, або натрієвої лампи ми будемо мати великий коефіцієнт підсилення інтерференції модульованих хвиль $K_{MI}=0.5n_{x12}=500$. Проте, у випадку «білого світла» або водневої лампи коефіцієнт підсилення інтерференції буде малим $K_{MI}=0.5n_{x12}=2$. Таким чином, не залежно від конкретної схеми інтерферометра, інтерференція двох модульованих хвиль має велику ширину смуги:

$\Sigma _{y}=\sigma {\frac {\Lambda _{y}}{\lambda _{x}}}=\sigma _{x}N_{x}$

при $\Lambda _{y}=N_{x}\lambda _{x}$. Тому "зміщення ширини смуги" має вигляд:

$\Delta (\Sigma _{y})=\Sigma _{y1}-\Sigma _{y2}=(N_{x1}-N_{x2})\sigma _{x}=n_{y}\sigma _{x}$.

Очевидно, що мінімальне значення зміщення ширини смуги буде:

$[\Delta (\Sigma _{y})]_{min}=\sigma _{x}$

при $n_{y}=1$. Точність вимірювання ширини модульованих хвиль буде, якщо не враховувати похибку телескопа чи мікроскопа:

$\delta _{y}={\frac {[\Delta (\Sigma _{y})]_{min}}{\Sigma _{y}}}={\frac {\sigma _{x}}{N_{x}\sigma _{x}}}={\frac {1}{N_{x1}}}$

де $N_{x1}=n_{y}{\frac {\lambda _{x2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\gg 1$.

Див. також

• Інтерферометр
• Муар
• Стояча хвиля
• Биття
• Розподілений бреггівський відбивач

Література

• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2004. — Т. 1 : А — К. — 640 с. — ISBN 966-7804-14-3.
• Романюк М. О., Крочук А. С., Пашук І. П. Оптика. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 564 с.
• Ландсберг Г. С. Оптика. — М. : Физматлит, 2010. — 848 с.
• Сивухин Д. В. Оптика // Общий курс физики. — М. : Физматлит, 2006. — Т. 4. — 792 с.

Посилання

• Java demonstration of interference (англ.)
• Flash animations demonstrating interference [Архівовано 24 червня 2009 у Wayback Machine.] (англ.)