Їжак (топологія)

Їжак у загальній топології — приклад метризовного простору. Будується з центральної точки $O$, одиничного півінтервалу $\mathbb {P} =(0,1]$ і довільної множини $S$ заданої потужності ${\mathfrak {m}}$, яку називають колючістю їжака, як:

$J({\mathfrak {m}})=\{O\}\cup (\mathbb {P} \times S)$,

із введенням метрики в такий спосіб:

1. $d(O,(x,s))=x$
2. $d((x,s_{1}),(y,s_{2}))={\begin{cases}|x-y|,&s_{1}=s_{2}\\x+y,&s_{1}\neq s_{2}\end{cases}}$.

Назва виникла через асоціацію з «голками», що стирчать з відрізка, «колючість» у цій асоціації зіставляється з кількістю голок. Таким чином, $J(0)$ — просто точка $O$, $J(1)=J(2)$ — відрізок.

Властивості

Їжак заданої колючості не залежить від вибору множини $S$ із точністю до гомеоморфізму.

Їжак є повним простором, також не є цілком обмеженим простором, при ${\mathfrak {m}}\geqslant \omega$, не сильно паракомпактний при ${\mathfrak {m}}>\omega$.

Не є локально сепарабельним при ${\mathfrak {m}}>\omega$.

$J({\mathfrak {m}})$ вкладається в $J({\mathfrak {n}})$ при ${\mathfrak {m}}\leqslant {\mathfrak {n}}$.

$J({\mathfrak {m}})$ вкладається в площину $\mathbb {R} ^{2}$ тільки при ${\mathfrak {m}}<\omega$ (вже у зліченному випадку характер центра їжака стає незліченним).

Якщо ${\mathfrak {m}}$ — скінченна, то вага, щільність, характер, клітковість і число Ліндельофа їжака $J({\mathfrak {m}})$ дорівнюють $\omega$. Інакше (при ${\mathfrak {m}}\geqslant \omega$) вага і характер дорівнюють $2^{\mathfrak {m}}$, а щільність, клітковість і число Ліндельофа — ${\mathfrak {m}}$.

Цікаві відомості

Квадрат триноги $J(3)$ не вкладається у тривимірний евклідів простір $\mathbb {R} ^{3}$.

На площині ($\mathbb {R} ^{2}$) неможливо розташувати незліченну кількість тріодів $J(3)$ так, щоб вони попарно не перетиналися.

Відкрите відображення їжака — знову їжак, не більшої колючості (тут треба акуратно розуміти збіги випадків$J(1)$ і $J(2)$).

Література

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М., 1986. — С. 374-375.
• Arkhangelskii, A. V.; Pontryagin, L. S. (1990), General Topology I, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-18178-4.
• Carlisle, Sylvia (2007), Model Theory of Real Trees, Graduate Student Conference in Logic, Univ. of Illinois, Chicago.
• Kowalsky, H. J. (1961), Topologische Räume, Basel-Stuttgart: Birkhäuser.
• Steen, L. A.; Seebach, J. A., Jr. (1970), Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston.
• Swardson, M. A. (1979), A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem, Proc. Amer. Math. Soc., 75 (1): 188, doi:10.1090/s0002-9939-1979-0529240-7.