Абсорбуючий елемент

Абсорбуючий елемент (поглинаючий елемент чи анігілюючий елемент) бінарної операції — елемент, який є результатом операції, якщо приймає в ній участь.

В теорії напівгруп такий елемент називають нулем, оскільки, там немає нейтрального елемента, якого теж так називають.

Якщо $(S,*)$ — множина $S$ з визначеною на ній бінарною операцією «*». Елемент $z\in S$ називається поглинаючим відносно цієї операції, якщо

$x*z=z*x=z,\quad \forall x\in S$.

Для некомутативних операцій, визначають

• лівий поглинаючий елемент $z_{\mathrm {l} }$, для якого

$z_{\mathrm {l} }*x=z_{\mathrm {l} },\quad \forall x\in S$,

• правий поглинаючий елемент $z_{\mathrm {r} }$, для якого

$x*z_{\mathrm {r} }=z_{\mathrm {r} },\quad \forall x\in S$.

Якщо одночасно існують лівий та правий поглинаючі елементи, то вони співпадають, оскільки:

$z_{\mathrm {r} }=z_{\mathrm {l} }\cdot z_{\mathrm {r} }=z_{\mathrm {l} }$.

Приклади

Об'єкти	Бінарна операція	Нейтральний елемент
Числа	$\cdot$ (множення)	0
Вектори	$+$ (додавання векторів)	${\vec {0}}$ нульовий вектор
Матриці	$\times$ (множення матриць)	нульова матриця
Функції	$\circ$ (композиція функцій)	тотожне відображення
Множини	$\cap$ (перетин множин)	порожня множина
Множини	$\cup$ (об'єднання множин)	$\varnothing$ (універсальна множина)
Логічні змінні	$\wedge$ (кон'юнкція)	$\bot$ (false)
Логічні змінні	$\lor$ (диз'юнкція)	$\top$ (true)

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)