Автоковаріація

У теорії ймовірностей та статистиці для заданого стохастичного процесу автоковаріа́ція (англ. autocovariance) — це функція, яка дає коваріацію цього процесу із самим собою в парах моментів часу. Автоковаріація процесу тісно пов'язана з його автокореляцією.

Автоковаріація стохастичних процесів

Визначення

За звичайного позначення $\operatorname {E}$ для оператора математичного сподівання, якщо стохастичний процес $\left\{X_{t}\right\}$ має функцію середнього значення $\mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]$, то автоковаріацію визначають як^{:с. 162}

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}$

(1)

де $t_{1}$ та $t_{2}$ — два моменти часу.

Визначення для слабко стаціонарного процесу

Якщо $\left\{X_{t}\right\}$ — слабко стаціонарний процес, то має місце наступне:^{:с. 163}

$\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu$ для всіх $t_{1},t_{2}$

і

$\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty$ для всіх $t$

і

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),$

де $\tau =t_{2}-t_{1}$ — запізнювання в часі (англ. time lag), або кількість часу, на яку було зміщено сигнал.

Таким чином, автоковаріаційна функція слабко стаціонарного процесу задається як^{:с. 517}

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{t-\tau }-\mu _{t-\tau })]=\operatorname {E} [X_{t}X_{t-\tau }]-\mu _{t}\mu _{t-\tau }$

(2)

що рівнозначне

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}$.

Унормовування

Поширеною практикою в деяких дисциплінах (наприклад, у статистиці та аналізі часових рядів) є унормовувати автоковаріаційну функцію, щоб отримувати залежний від часу коефіцієнт кореляції Пірсона. Проте в деяких інших дисциплінах (наприклад, в інженерії) унормовування зазвичай пропускають, а терміни «автокореляція» та «автоковаріація» використовують як взаємозамінні.

Визначення нормованої автокореляції стохастичного процесу:

$\rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}$.

Якщо функція $\rho _{XX}$ однозначно визначена, її значення мусять лежати в діапазоні $[-1,1]$, причому 1 вказує на ідеальну кореляцію, а −1 — на ідеальну антикореляцію.

Для слабко стаціонарного процесу визначення таке:

$\rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}$.

де

$\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}$.

Властивості

Властивість симетрії

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}$^:с.169

відповідно, для слабко стаціонарного процесу:

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}$^:с.173

Лінійні фільтри

Автоковаріацією процесу з лінійним фільтром $\left\{Y_{t}\right\}$

$Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,$

є

$K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,$

Обчислення турбулентної дифузійності

Автоковаріацію можливо використовувати для обчислення турбулентної дифузійності. Турбулентність у потоці може спричинювати флуктуації швидкості в просторі й часі. Таким чином, ми можемо визначати турбулентність за допомогою статистики цих флуктуацій^{[джерело?]}.

Для визначання флуктуацій швидкості $u'(x,t)$ використовують розклад Рейнольдса (припустімо, що ми зараз працюємо з одновимірною задачею, й $U(x,t)$ — швидкість уздовж напрямку $x$):

$U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),$

де $U(x,t)$ — істинна швидкість, а $\langle U(x,t)\rangle$ — математичне сподівання швидкості. Якщо ми оберемо правильне $\langle U(x,t)\rangle$, то всі стохастичні складові турбулентної швидкості буде включено до $u'(x,t)$. Щоби визначити $\langle U(x,t)\rangle$, необхідний набір вимірювань швидкості, зібраних із точок у просторі, моментів часу, або повторюваних експериментів.

Якщо ми припускаємо, що турбулентний потік $\langle u'c'\rangle$ ($c'=c-\langle c\rangle$, а c — член концентрації) може бути викликано випадковим блуканням, то для вираження члену турбулентного потоку ми можемо використовувати закони дифузії Фіка:

$J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.$

Автоковаріація швидкості визначається як

$K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle$ або $K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,$

де $\tau$ — часове, а $r$ — просторове відставання.

Турбулентну дифузійність $D_{T_{x}}$ можливо обчислювати за допомогою наступних 3 методів:

1. Якщо маємо дані про швидкість уздовж лагранжевої траєкторії:

   $D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .$

2. Якщо маємо дані про швидкість в одному нерухомому (ейлеровому) положенні^{[джерело?]}:
   $D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .$
3. Якщо маємо інформацію про швидкість у двох нерухомих (ейлерових) положеннях^{[джерело?]}:
   $D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,$
   де $r$ — відстань, розділена цими двома нерухомими положеннями.

Див. також

• Авторегресійний процес
• Кореляція
• Взаємна коваріація
• Взаємна кореляція
• Оцінювання коваріацій шумів (як приклад застосування)

 

Література

• Hoel, P. G. (1984). Mathematical Statistics (вид. Fifth). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4. (англ.)
• Конспект лекції з автоковаріації ВГОІ (англ.)