Адаптований процес

У теорії випадкових процесів адаптований процес — це процес який не може передбачати майбутнє і визначений своєю минулою інформацією. Грубо кажучи X адаптований, якщо для будь-якої реалізації і довільного n, значення X_n відоме в час n. Поняття адаптованого процесу дуже важливе в теорії випадкових процесів, зокрема для визначення інтеграла Іто. Так інтеграл Іто визначений тільки для тих процесів інтеграндів які є адаптованими

Означення

Нехай

• $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — імовірнісний простір;
• $\displaystyle I$ множина індексів з заданим на ній відношенням порядку $\displaystyle \leq$ (часто, $\displaystyle I$ це одна з моножин $\displaystyle N,N_{0},[0,T]$ чи $[0,+\infty )$);
• $F_{\bullet }=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ — фільтрація задана на сигма-алгебрі ${\mathcal {F}}$;
• $\displaystyle (S,\Sigma )$ — вимірний простір, множина станів;
• $\displaystyle X:I\times \Omega \to S$ — стохастичний процес.

Тоді процес $\displaystyle X$ називається адаптованим до (по відношенню до) фільтрації $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$, якщо випадкова величина $\displaystyle X_{i}:\Omega \to S$ є $\displaystyle (F_{i},\Sigma )$ - вимірна функція для всіх $\displaystyle i\in I$.

Див. також

• Фільтрація сигма-алгебр