Березініан

В математиці і теоретичній фізиці, березініан або супердетермінант є узагальненням визначника на випадок суперматріц. Названий на честь Фелікса Березіна. Березініан грає роль, аналогічну визначнику, коли розглядаються зміни координат для інтеграції на супермноговиді. Березініан є аналогом якобіана в аналізі зі змінними, що антикомутують.

Означення

Березініан однозначно означається двома визначальними властивостями:

• $\operatorname {Ber} (XY)=\operatorname {Ber} (X)\operatorname {Ber} (Y)$
• $\operatorname {Ber} (e^{X})=e^{\operatorname {str(X)} }$

де str(X) позначає суперслід від X. На відміну від класичного визначника, березініан визначений тільки для невироджених суперматриць.

Властивості

• Березініан з X завжди є одиницею кільця R₀.
• $\operatorname {Ber} (X)^{-1}=\operatorname {Ber} (X^{-1})$
• $\operatorname {Ber} (X^{T})=\operatorname {Ber} (X)$ де $X^{T}$ позначає супертранспозіцію X.
• $\operatorname {Ber} (X\oplus Y)=\operatorname {Ber} (X)\mathrm {Ber} (Y)$

Посилання

• Berezin, Feliks Aleksandrovich (1966) [1965], The method of second quantization, Pure and Applied Physics, т. 24, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-089450-5, MR 0208930, архів оригіналу за 19 лютого 2017, процитовано 23 квітня 2019
• Deligne, Pierre; Morgan, John W. (1999), Notes on supersymmetry (following Joseph Bernstein), у Deligne, Pierre; Etingof, Pavel; Freed, Daniel S.; Jeffrey, Lisa C.; Kazhdan, David; Morgan, John W.; Morrison, David R.; Witten., Edward (ред.), Quantum fields and strings: a course for mathematicians, Vol. 1, Providence, R.I.: American Mathematical Society, с. 41—97, ISBN 978-0-8218-1198-6, MR 1701597
• Manin, Yuri Ivanovich (1997), Gauge Field Theory and Complex Geometry (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-61378-7