Булева алгебра з двома елементами

Булева алгебра з двома елементами — булева алгебра на булевій множині. Використовується в бінарній логіці.

Визначення

B - це частково впорядкована множина і елементи цієї множини є також її обмежені множини. Операція арності n це функція $\ B^{n}\to B$. Булева алгебра складається з двох бінарних операцій і унарної операції. Ця алгебра є фундаментом функціонування цифрових дискретних систем. Операція $\lor$ в такій алгебрі має назву "логічного АБО" (logical OR), операція $\land$ -- "логічного І" (logical AND), а елементам 1 та 0 ставляться у відповідність твердження "істина" (true) та "неправда" (false).

Деякі основні тотожності

• $0\lor 0=1\land 0=0\land 1=0$
• $1\land 1=0\lor 1=1\lor 0=1$
• $1\lor 1=1$
• $0\land 0=0$
• ${\overline {1}}=0$
• ${\overline {0}}=1$

Зверніть увагу:

• $\land$ і $\lor$працює так само, як в чисельній арифметиці, окрім того, що $1\land 1=1$
• обмінявши 0 і 1, і '$\land$' і '$\lor$' отримаємо істину, саме в цьому полягає дуальність

• $A\land A=A$
• $A\lor A=A$
• $A\land 0=A$
• $A\land 1=1$
• $A\lor 0=0$
• ${\overline {\lor }}{\overline {A}}=A$

Виконується властивість дистрибутивності:

• $\ A\lor (B\land C)=(A\lor B)\land (A\lor C);$
• $\ A\land (B\lor C)=(A\land B)\lor (A\land C)$

• $A\lor B={\overline {{\overline {A}}\land {\overline {B}}}}$
• $A\land B={\overline {{\overline {A}}\lor {\overline {B}}}}$

• $\ A\lor B\lor C=B\lor C\lor A$
• ${\overline {A}}A=1$
• $\ A\lor 0=A$