Мультивектор, р-вектор, векторного простору
— елемент деякого зовнішнього ступеня
простору
над полем
.
p-вектор може розумітися як кососиметризований р раз контраваріантний тензор на
.
2-вектор також називають бівектором, а 3-вектор - тривектором. p-вектор дуальний до p-форми. Бівектори пов'язані з псевдовекторами та використовуються для представлення обертання.
Неоднозначність представлення бівектора векторами
[ред. | ред. код]
Розглянемо дві лінійні комбінації векторів
і
:
![{\displaystyle (8)\qquad \mathbf {x} =\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} ,\qquad \mathbf {y} =\gamma \mathbf {a} +\delta \mathbf {b} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03eeb04ebdbfa77791ec3fe1dcb55c5a8ffa5948)
Користуючись спочатку лінійністю зовнішнього добутку щодо кожного із аргументів, а потім антисиметричністю, знаходимо:
![{\displaystyle (8)\qquad \mathbf {x} \wedge \mathbf {y} =(\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} )\wedge (\gamma \mathbf {a} +\delta \mathbf {b} )=(\alpha \delta -\beta \gamma )(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3756a95ade5e8241fd74864fb564b47079e0a1d6)
Коефіцієнт в правій частині формули (8) є визначником матриці трансформації:
![{\displaystyle (9)\qquad \alpha \delta -\beta \gamma ={\begin{vmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423501230b8296f67d768197b35de3de5f60ef6b)
Якщо цей визначник дорівнює одиниці (наприклад матриця трансформації є поворотом в площині
), то бівектор виражається через нові вектори
і
так само, як і через старі (порівняйте з формулою (3)):
![{\displaystyle (10)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5043923076b20b3434c3a4bce1bb0771bbf146)
Нехай ми маємо вектор
і бівектор
. Розглянемо тривектор, утворений зовнішнім добутком цих величин:
![{\displaystyle (11)\qquad ({\boldsymbol {\sigma }}\wedge \mathbf {v} )_{ijk}=(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {v} )_{ijk}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9dc54da9ed10547f0c589e72b494e738afa6234)
![{\displaystyle \qquad ={\begin{vmatrix}a_{i}&b_{i}&v_{i}\\a_{j}&b_{j}&v_{j}\\a_{k}&b_{k}&v_{k}\end{vmatrix}}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})v_{k}+(a_{k}b_{i}-a_{i}b_{k})v_{j}+(a_{j}b_{k}-a_{k}b_{j})v_{i}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55be1f769f969ed38b3b1bdbd7ad7a13dee97f23)
![{\displaystyle \qquad =\sigma _{ij}v_{k}+\sigma _{ki}v_{j}+\sigma _{jk}v_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3aaaf45d8b72bc8a06e947e5f2ce01a0826a140)
Якщо вектор
буде лінійною комбінацією векторів
і
, то визначник у формулі (11) перетвориться в нуль, і для цього випадку маємо:
![{\displaystyle (12)\qquad \sigma _{ij}v_{k}+\sigma _{ki}v_{j}+\sigma _{jk}v_{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcac6a68a44185f4b4b93421653930d07dd31395)
Оскільки вектори
і
лежать у площині бівектора
, то для них справедлива формула (12), тому для будь-яких індексів
знаходимо:
![{\displaystyle (13)\qquad \sigma _{ij}\sigma _{kl}+\sigma _{ki}\sigma _{jl}+\sigma _{jk}\sigma _{il}=\sigma _{ij}(a_{k}b_{l}-a_{l}b_{k})+\sigma _{ki}(a_{j}b_{l}-a_{l}b_{j})+\sigma _{jk}(a_{i}b_{l}-a_{l}b_{i})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8ee7408af1bf9fd6bdf2a8d4c6282e905e5bcc)
![{\displaystyle \qquad =(\sigma _{ij}a_{k}+\sigma _{ki}a_{j}+\sigma _{jk}a_{i})b_{l}-(\sigma _{ij}b_{k}+\sigma _{ki}b_{j}+\sigma _{jk}b_{i})a_{l}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a860aaf4013b383a4c48dbfa8da709f5edb6b8)
Отже бівектор виділяється із множини всіх антисиметричних тензорів тим, що компоненти бівектора алгебраїчно залежні:
![{\displaystyle (14)\qquad \sigma _{ij}\sigma _{kl}+\sigma _{ki}\sigma _{jl}+\sigma _{jk}\sigma _{il}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39070e8add0ab610373106e380b78cf0cc184bb0)
(Примітка: формула (14) має деяку схожість з алгебраїчною тотожністю Біанкі для тензора Рімана, і це не випадково)
Ми бачили, що для бівектора виконується рівність (14). Покажемо що навпаки, якщо для деякого антисиметричного тензора виконується рівність (14) то цей тензор буде бівектором, тобто можна за цим тензором побудувати такі два вектори
і
, що виконується рівність (1).
Нехай тензор
ненульовий, тобто не всі компоненти цього тензора дорівнюють нулю. Нехай для деяких фіксованих індексів
маємо
. Тоді із формули (14) одержуємо для всіх індексів
:
![{\displaystyle (15)\qquad \sigma _{ij}={\sigma _{ik}\sigma _{il}-\sigma _{jk}\sigma _{il} \over \sigma _{kl}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8373c2a8bfff9f2cc59706eb61f3edc2d705223)
В даній системі координат ми можемо наприклад взяти такі два вектора (числа
фіксовані):
![{\displaystyle (16)\qquad a_{i}={\sigma _{ik} \over \sigma _{kl}},\qquad b_{i}=\sigma _{il}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca05ba8ae8e4502da6cf408f9bb8bcdd0ecff780)
Очевидно, що тоді формула (1) виконується.
Антисиметричний тензор другого рангу має
алгебраїчно незалежних компонент.
Бівектор за формулою (1) виражається через
чисел
, але оскільки є деяка довільність у виборі векторів
і
(формула 8) і ми можемо в рівності
![{\displaystyle (17)\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3ae1797e9f94e6e7675ea235490708888c5fa7)
три параметри обрати довільно, то бівектор має
алгебраїчно незалежних параметра.
Знайдемо «надлишкову» кількість параметрів, якою антисиметричний тензор відрізняється від бівектора:
![{\displaystyle (18)\qquad \Delta N={n(n-1) \over 2}-(2n-3)={(n-2)(n-3) \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18d5f11fc5d9c40c3ddf510e2a44f377958ec66)
З цієї формули ми бачимо, що для дво- і тривимірного простору надлишок дорівнює нулю (тобто кожен антисиметричний тензор є бівектором), для 4-вимірного простору цей надлишок задається одним параметром, для вищих розмірностей цих надлишкових параметрів досить багато.
Представлення антисиметричного тензора бівектором в розмірностях 2 і 3
[ред. | ред. код]
Якщо розмірність простору менша чотирьох, то у формулі (14) щонайменше два індекси з чотирьох збігаються. Перебором варіантів можна пересвідчитись, що тоді обов'язково один із трьох доданків в (14) дорівнює нулю (бо
), а два інші рівні за величиною і протилежні за знаком. Тобто рівність (14) виконується завжди для будь-якого антисиметричного тензора. Формула (16) дає обчислення таких векторів
і
, що виконується рівність (1).
Далі в цій статті ми будемо припускати існування евклідової метрики, щоб можна було говорити про величини векторів, бівекторів і про кути між ними. Використовуючи метричний тензор, ми можемо піднімати і опускати індекси тензорів.
Розглянемо скаляр, який утворюється множенням бівектора на себе з наступною згорткою за відповідними індексами. У наступних формулах ми будемо користуватися правилом Ейнштейна, що у кожному виразі де зустрічаються однакові індекси, за ними відбувається додавання:
![{\displaystyle (19)\qquad \sigma _{ij}\sigma ^{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(a^{i}b^{j}-a^{i}b^{j})=a_{i}b_{j}a^{i}b^{j}-a_{i}b_{j}a^{j}b^{i}-a_{j}b_{i}a^{i}b^{j}+a_{j}b_{i}a^{j}b^{i}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d34f8389b0bec8c2f8ef882596313c8bbefed9)
![{\displaystyle =2(|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})=2|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}(1-\cos ^{2}\phi )=2(|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \phi )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795cc43d5af62c28510ab9d796c3616ba65a777a)
У дужках останнього виразу стоїть площа паралелограма, побудованого на векторах
і
. Ця площа і називається нормою бівектора.
![{\displaystyle (20)\qquad |{\boldsymbol {\sigma }}|={\sqrt {\sum _{i<j}\sigma _{ij}\sigma ^{ij}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74a62ce51939376528368c4b9f4878be6d9cb54)
Розглянемо згортку бівектора з довільним вектором
:
![{\displaystyle (21)\qquad y_{i}=\sigma _{ij}x^{i}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})x^{j}=a_{i}(\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} )-b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c3eea46361a86b9a4acc9012becda1be53f435)
В результаті цієї операції ми маємо вектор
, що є лінійною комбінацією векторів
і
, тобто лежить в площині
.
Якщо вектор
ортогональний до площини
, то в результаті одержимо нуль.
Якщо вектор
лежить у площині
, наприклад
, то одержимо ненульовий вектор площини повернутий на
, і розтягнутий в
разів:
![{\displaystyle (22)\qquad \mathbf {y} =\mathbf {a} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )-\mathbf {b} a^{2},\;(\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} )=0,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb23f75edc9a8fcefee5022629fc209c043610fb)
![{\displaystyle \qquad y^{2}=(\mathbf {a} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )-\mathbf {b} a^{2})=a^{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}-2a^{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+b^{2}(a^{2})^{2}=a^{2}(a^{2}b^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})=(|\mathbf {a} ||{\boldsymbol {\sigma }}|)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfba3c02d9ca156dd23b00d907b442a3850a7c5c)
тобто дію бівектора на вектор можна розкласти на три етапи: проєкцію вектора на площину, розтягнення, і поворот в площині на кут
.