Варіація повороту кривої

Варіація повороту цієї кривої дорівнює $6\cdot \pi$

Варіація повороту кривої — інтеграл кривини кривої за її довжиною.

Означення

Варіація повороту кривої $\gamma$ на площині або в просторі визначається як точна верхня межа суми зовнішніх кутів вписаної в $\gamma$ ламаної.

У разі якщо крива $\gamma$ замкнута, вписана ламана також передбачається замкнутою.

Зауваження

Якщо $\gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d}$ гладка крива, параметрезована довжиною, $\kappa (s)$ — її кривина, то варіація повороту дорівнює інтегралу модуля кривизни:

• $\int \limits _{a}^{b}|\kappa (s)|\cdot ds.$

Варіацію повороту гладкої регулярної кривої $\gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d}$} можна також визначити як довжину її дотичної індикатриси; тобто кривої $\tau (s)\colon [a;\,b]\to \mathbb {S} ^{d-1}$ утвореної одиничними дотичними векторами.

Джерела

• Kuhnel, Wolfgang (2005), Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3988-1 (translated by Bruce Hunt)
• Sullivan, John M. (2008), Curves of finite total curvature, Discrete differential geometry, Oberwolfach Semin., т. 38, Birkhäuser, Basel, с. 137—161, arXiv:math/0606007, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_7, MR 2405664