Визначник Вандермонда

Визна́чником Вандермонда називається визначник:

${\begin{vmatrix}1&x_{1}&\ldots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&\ldots &x_{2}^{n-1}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq j<i\leq n}\!(x_{i}-x_{j})$ .

Він дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли існує хоч одна пара $\left(x_{i},x_{j}\right)$ така, що $x_{i}=x_{j},i\neq j$ .

Доведення

Індукція за розміром матриці $m$ .

База

$m=2$ . Матриця має вигляд

$V_{2}={\begin{bmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\\\end{bmatrix}}$

Зрозуміло, її визначник дорівнює $x_{2}-x_{1}$ .

Індукційне припущення

${\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{m-2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{m-2}\\.&.&.&.&.\\1&x_{m-1}&x_{m-1}^{2}&\dots &x_{m-1}^{m-2}\\\end{vmatrix}}=\prod \limits _{1\leqslant i<j\leqslant m-1}(x_{j}-x_{i})$

Індукційний перехід

${\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{m-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{m-1}\\.&.&.&.&.\\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{m-1}\\\end{vmatrix}}$

Віднімемо від останнього стовпця передостанній, помножений на $x_{1}$ , від $m-2$ -ого — $m-3$ -й, помножений на $x_{1}$ , від $i$ -ого — $i-1$ -й, помножений на $x_{1}$ і так далі для всіх стовпців. Ці перетворення не змінюють визначник матриці. Отримаємо

${\begin{vmatrix}1&0&0&\dots &0\\1&x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&\dots &x_{2}^{m-2}(x_{2}-x_{1})\\.&.&.&.&.\\1&x_{m}-x_{1}&x_{m}(x_{m}-x_{1})&\dots &x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_{1})\\\end{vmatrix}}$

Розкладаючи цей визначник по елементах першого рядка, отримаємо, що він дорівнює наступному визначнику:

${\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&\dots &x_{2}^{m-2}(x_{2}-x_{1})\\.&.&.&.\\x_{m}-x_{1}&x_{m}(x_{m}-x_{1})&\dots &x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_{1})\\\end{vmatrix}}$

Для всіх $i$ від 2 до $m$ винесемо з $i$ -го рядка множник $x_{i}-x_{1}$ . Отримаємо

$(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\dots (x_{m}-x_{1}){\begin{vmatrix}1&x_{2}&\dots &x_{2}^{m-2}\\.&.&.&.\\1&x_{m}&\dots &x_{m}^{m-2}\\\end{vmatrix}}$

Підставимо значення з індукційного припущення:

$(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\dots (x_{m}-x_{1})\prod \limits _{2\leqslant i<j\leqslant m}(x_{j}-x_{i})=\prod \limits _{1\leqslant i<j\leqslant m}(x_{j}-x_{i})$ , що й треба було довести.