Визначник Гурвіца

Визначники Гурвіца були вперше введені Адольфом Гурвіцом у 1895 році, який використав їх для критерію того що всі корені многочлена мають від'ємну дійсну частину.

Визначення

Розглянемо характеристичний многочлен P зі змінною λ у вигляді:

$P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_{n}$

де$a_{i}$, $i=0,1,\ldots ,n$ є дійсними.

Квадратна матриця Гурвіца, що асоціюється з P наведена нижче:

$H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &0&\dots &0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&\vdots &&\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&0&&\vdots \\\vdots &a_{0}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &0&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.$

i-тий визначник Гурвіца це визначник i-го головного мінору матриці Гурвіца H. Існує n визначників Гурвіца для характеристичного многочлена степеня  n.

Див. також

• Критерій стійкості Гурвіца

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)
• Hurwitz, A. (1895), Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt, Mathematische Annalen, 46 (2), doi:10.1007/BF01446812
• Wall, H. S. (1945), Polynomials whose zeros have negative real parts, The American Mathematical Monthly, 52: 308—322, ISSN 0002-9890, JSTOR 2305291, MR 0012709