Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Немає
перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще
не перевіряли на відповідність правилам проекту.
Характеристичний поліном квадратної матриці
A
{\displaystyle \ A}
n
×
n
{\displaystyle \ n\times n}
многочлен степеня
n
{\displaystyle \ n}
λ
,
{\displaystyle \ \lambda ,}
p
A
(
λ
)
=
det
(
A
−
I
n
λ
)
{\displaystyle \ p_{A}(\lambda )=\det(A-I_{n}\lambda )}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
одинична матриця порядку
n
{\displaystyle n}
Скаляр
λ
{\displaystyle \lambda }
A для власного вектора
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
тоді і тільки тоді коли:
A
v
=
λ
v
,
{\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,\,}
чи
(
λ
I
n
−
A
)
v
=
0
{\displaystyle (\lambda I_{n}-A)\mathbf {v} =0\,}
Оскільки
v
≠
0
,
{\displaystyle \mathbf {v} \neq 0,}
(
λ
I
n
−
A
)
{\displaystyle (\lambda I_{n}-A)}
виродженою , а отже:
det
(
λ
I
n
−
A
)
=
0
{\displaystyle \det(\lambda I_{n}-A)=0}
p
A
(
λ
)
=
λ
n
−
tr
A
λ
n
−
1
+
…
+
(
−
1
)
n
det
A
{\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} A\lambda ^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det A}
Для матриць елементи яких комутативними є
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
p
A
(
λ
)
=
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
q
n
−
i
(
tr
A
,
tr
A
2
…
,
tr
A
n
−
i
)
λ
i
,
{\displaystyle p_{A}(\lambda )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}q_{n-i}{\Bigl (}\operatorname {tr} A,\operatorname {tr} A^{2}\ldots ,\operatorname {tr} A^{n-i}{\Bigr )}\lambda ^{i},}
де
q
n
−
i
{\displaystyle q_{n-i}}
елементарних симетричних многочленів від степеневих симетричних многочленів у тотожностях Ньютона (тобто
e
j
=
q
j
(
p
1
,
.
.
.
p
j
)
.
{\displaystyle e_{j}=q_{j}(p_{1},...p_{j}).}
Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються:
p
B
−
1
A
B
(
λ
)
=
p
A
(
λ
)
{\displaystyle \ p_{B^{-1}AB}(\lambda )=p_{A}(\lambda )}
Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:
p
B
A
(
λ
)
=
p
A
B
(
λ
)
{\displaystyle \ p_{BA}(\lambda )=p_{AB}(\lambda )}
p
A
(
A
)
=
0.
{\displaystyle \ p_{A}(A)=0.}
Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням ) називається рівняння
p
A
(
λ
)
=
det
(
λ
I
n
−
A
)
=
0
{\displaystyle \ p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=0}
Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці
A
.
{\displaystyle A.}
Тільки вони є власними значеннями матриці
A
.
{\displaystyle A.}
