Від'ємна частота

Поняття від'ємної і додатної частоти можна показати на прикладі вектора, що обертається в той чи інший бік: частота зі знаком може позначати швидкість і напрямок обертання. Швидкість виражена в оборотах (циклах) за секунду (герцах) або рад/с (де 1 цикл відповідає $2\pi$ радіан).

Синусоїди

Нехай $\omega$ - це невід'ємний параметр, що вимірюється в рад/с. Тоді кутова функція (кут від часу) $-\omega t+\theta$ , має нахил $-\omega$ , який називають від'ємною частотою. Але коли функція використовується як аргумент для косинуса, результат невідрізненний від $\cos(\omega t-\theta )$ . Аналогічно, $\sin(-\omega t+\theta )$ невідрізненний від $\sin(\omega t-\theta +\pi ).$ Тому, будь-яку синусоїду можна представити через додатні частоти. Знак нахилу фази, що лежить в основі - неоднозначний.

Неоднозначність розв'язується коли косинус і синус можна спостерігати одночасно, бо $\cos(\omega t+\theta )$ випереджає $\sin(\omega t+\theta )$ на 1/4 циклу ( $=\pi /2$ радіан) коли $\omega >0,$ і відстає на 1/4 циклу коли $\omega <0.$ Аналогічно, вектор, $(\cos t,\sin t)$ , обертається проти часової стрілки зі швидкістю 1 рад/с і завершує кожен цикл кожні $2\pi$ секунди, а вектор $\cos -t,\sin t)$ обертається в зворотньому напрямку.

Знак $\omega$ також зберігається комплексно-значимою функцією:

$e^{i\omega t}=\underbrace {\cos(\omega t)} _{R(t)}+i\cdot \underbrace {\sin(\omega t)} _{I(t)},$

(Рів.1)

бо $R(t)$ і $I(t)$ можна виокремити і порівняти. Хоча $e^{i\omega t}$ очевидно містить більше інформації ніж кожен з її компонентів, звичайна інтерпретація така, що це простіша функція, бо:

Вона спрощує багато тригономеричних обчислень, що призвело до її формального опису як аналітичного представлення $\cos(\omega t).$
Наслідком рівняння Рів.1 є:

$\cos(\omega t)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}),$

(Рів.2)

з цього видно, що $\cos(\omega t)$ недостатньо для визначення знаку $\omega .$