Відстань між прямими

Якщо в просторі аналітично задано дві прямі:

перша пряма проходить через точку $\ p_{1}$ в напрямку $\ v_{1};$

друга пряма проходить через точку $\ p_{2}$ в напрямку $\ v_{2}.$

Для спрощення формул позначимо через $\ w=p_{2}-p_{1}.$

Відстань між прямими

Знайдемо вектор перпендикулярний до обох прямих:

$\ n=v_{1}\times v_{2}$

• Якщо $\ n$ дорівнює нулю, то прямі є паралельними і відстань між ними рівна:

$d={\sqrt {|w|^{2}-{\frac {\langle w,v_{1}\rangle ^{2}}{|v_{1}|^{2}}}}}$ (див. відстань від точки до прямої).

• Якщо ні, тоді відстань рівна:

$d={\frac {\langle w,n\rangle }{|n|}}.$

Найближна точка до іншої прямої

Точка першої прямої, що знаходиться найближче до другої прямої:

${\acute {p_{1}}}=p_{1}+{\frac {\langle k,w\rangle }{\langle k,v_{1}\rangle }}v_{1},\qquad k=n\times v_{2}=v_{1}-\mathbf {proj} _{v_{2}}(v_{1}).$

Див. також

• Відстань від точки до прямої
• Проєкція вектора
• Скалярний добуток
• Векторний добуток

Джерела

• Погорєлов О. В. Геометрія : Стереометрія : Підруч. для 10—11 кл. серед. шк. — 6-те вид. — Київ : Освіта, 2001. — 128 с.